线性规划中的四个易错点

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一、混淆动直线的截距与所求最值间的对应关系

例1已知实数x,y满足y≤2x,y≥-2x,x≤3,则目标函数z=x-2y的最小值是.

错解:题中的可行域如图1的阴影部分所示,其中O为坐标原点,A(3,6),B(3,-6).

先作出动直线l:z=x-2y过原点时的情形,如图中的虚线l0所示. 由图1可知,当l过点B时,z取到最小值zmin=3-2×(-6)=15.

【剖析与纠正】 动直线l的方程为:y=-,该直线的截距为-,故当动直线截距取到最大值时,对应目标函数z才取到最小值. 显然,当l过点A时,其截距最大, zmin=3-2×6=-9.

点评: 理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号是大错特错的. 一般地,若目标函数为z=ax+by (b≠0),则动直线l的方程为:y=-+,才是动直线在y轴上的截距. 由此可见,当b>0时,目标函数z取到最大(最小)值等同于截距取到最大(最小)值;当b

这一错解告诉我们,先将目标函数改写为动直线的斜截式方程,再从中确定目标函数值与动直线截距间的对应关系,是准确求解线性规划问题的第一步.

二、无视动直线与可行域边界直线间的相对倾斜程度

例2若实数x,y满足x+y≥2,2x-y≤4,x-y≥0,则2x+3y的最小值是.

错解: 可行域如图2阴影部分所示,其中A(2,0),B(1,1),C(4,4).设z=2x+3y,则动直线l:y=-x+过原点时的位置为l0,平移l,由图2可知,当l过点B时有zmin=2+3=5.

【剖析与纠正】 错解无视动直线l与可行域边界直线AB间的相对倾斜程度,草率作出了l0的图象,从而导致了错解. kl=->kAB=

-1,由斜率的几何意义可知,l的“陡峭”程度要小于AB,故l过原点时的位置应如图中的l1所示. 由此可知,当l过A点时z取到最小值,zmin=2×2+0=4.

点评: 当线性约束条件表示的可行域为一多边形时,明确动直线与可行域边界直线的相对倾斜情况,是正确求解线性规划问题的第二步.

一般地,可先观察直线斜率的正负,然后再根据斜率绝对值的大小来确定动直线与边界直线的相对倾斜情况.

三、忽视变量实际意义,“想当然”推断最优解

例3要将两种形状不规则的钢板截成A,B,C三种规格的小钢板,每张钢板可截得的各种小钢板的块数如表1所示.

表1

已知第一种钢板的面积为1m2,第二种钢板的面积为2m2. 今分别需要A,B,C三种规格的小钢板12,15,27块,则需使用钢板的最小面积为

m2.

错解一: 设需要第一种钢板x张,第二种钢板y张,所用钢板总面积为zm2,则z=x+2y,且x,y满足x+y≥12,2x+y≥15,x+3y≥27,x>0,y>0.易知可行域如图3阴影部分所示,其中L1:x+y=12,L2:2x+y=15,L3:x+3y=27,L1,L3的交点为A,.动直线l:y=-x+过原点的直线为l0,显然当l过点A时,zmin=+15=19.5(m2),即至少需要使用钢板的面积为19.5m2.

错解二: 由于x,y为钢板的张数,故应为正整数,A,不是整数点,所以应选择可行域内离A最近的整数点B(5,8), zmin=5+2×8=21(m2).

【剖析与纠正】错解一忽视了所求变量x,y与目标函数z的实际意义.错解二虽注意到了最优解应为整数解,但选择点B只是想当然的,并没有验证B点是否确为最优解.

设l过点A,时的直线为l1 (此时z=19.5),过点B(5,8)时的直线为l2 (此时z=21). 假设存在其他最优解D(x0,y0),则过点D的直线l必介于l1,l2之间,此时z∈(19.5,21), z∈N*, z=20.

易知l2的方程为x+2y=21,l2与L3的交点为B′(9,6),l2与L2的交点为C(3,9)(也即L1与L2的交点).显然点D必定在如图3所示的AB′C(含边界)内,则有x0+2y0=20,3≤x0≤9,6≤y0≤9,x0,y0∈N*.解得D(8,6)(舍去,不在可行域内),D(6,7)或D(4,8),故z=20可以取到,即需使用钢板的最小面积为20m2.

点评: 求最优整数解是线性规划的难点. 本题的剖析其实给同学们展示了一种求最优整数解的简便方法:第一步,求出不考虑整数条件时的最优解A及此时的目标函数值z(A). 若A恰好为整数解,则问题解决;若A不是整数解,则进入第二步,在该“最优解”附近求得某一整数解B及此时的目标函数值z(B);第三步,推断介于z(A)与z(B)之间的可能的目标函数值,并求出该目标函数值对应的所有整数解;第四步,验证这些整数解是否在可行域内.

四、分析、转化问题不全面

例4已知x,y满足y≤x,x+y≤1,y≥-1,则使2x+y取到最大值的(x,y)为

.

错解: 令z=2x+y,要使2x+y取得最大值,即要使z取得最大值. 题中的可行域如图4阴影部分所示,由图可知,当动直线l:y=-2x+z经过点A(2,-1)时z取到最大值,zmax=2×2-1=3,故使2x+y取到最大值的(x,y)为(2,-1).

【剖析与纠正】错解对“2x+y取得最大值”这一条件进行了不等价转化.2x+y的最大值应为2x+y可取到的最大值与最小值中的绝对值较大者,故解题时还应该考虑z=2x+y取到最小值的情况.

由图4可以看出,当动直线l经过B(-1,-1)时,zmin=2×(-1)-1=-3,故2x+y的最大值确实为3,但其对应的(x,y)却有两组:(-1,-1)或(2,-1).

点评:求解二元一次式的绝对值这个问题似乎并没有直接指向线性规划,但我们通过转化使其具有了线性意义. 设z=2x+y,找出这一目标函数的最值,等于“变相”地去掉了“绝对值”符号. 但如果分析不全面,仍然可能导致错解. 可见,线性转化、全面分析,乃是线性规划应用的原则.

《慧眼识“异”》答案

B。除B外,其余图形的外边框都是带弧度的。