基于数学多元表征理论的教学设计

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【关键词】多元表征理论 等比数列前n项和公式 教学设计

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）01B-

0045-02

新课程的实施要以素质教育理念为指导，以学生发展为本，遵循教育教学规律，优化教学设计，提高教学的有效性。本文探讨基于数学多元表征理论的教学设计。

一、数学多元表征理论

表征是认知心理学的核心概念之一，指信息或知识在心理活动中的表现和记载的方式。它既是外部事物在心理活动中的内部再现，又是心理活动进一步加工的对象。所以，数学表征是数学学习对象的一个替代。唐剑岚博士认为数学多元表征是指数学学习对象的多种表征形式。这包括两层含义：其一，同一数学学习对象必须具有言语化和视觉化两种本质不同的表征；其二，数学学习对象的表征形式至少具有两种或两种以上。利用数学多元表征理论指导学习有助于学生对数学本质的理解，进行不同表征的转换与转译时立足于认知负荷理论的要求，可以达到最佳学习效果。

二、基于数学多元表征理论的教学设计

以下以“等比数列的前n项和公式”的教学设计为例，说明基于数学多元表征理论的教学设计。

1.学情分析

学生学习了等差数列，从等差数列求和公式的推导，感受了数学多元表征对揭示数学对象本质的作用。本课将通过具体问题引出研究对象，运用图形表征、符号表征加深学生对等比数列求和公式特征的视觉化认识，激发学生的学习兴趣，增强学生自主探究的热情。

2.教材分析

（1）本节内容的地位与作用

本节内容是“等比数列”内容的延续，是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。它在现实生活中有着广泛的应用，如储蓄、分期付款的有关计算等。公式推导过程所蕴涵的类比、分类讨论等思想方法是学生数学素养的组成部分。

（2）教学的重点与难点

重点：等比数列前n项和公式。

难点：等比数列前n项和公式的推导。

3.三维目标设计

（1）知识与技能目标

理解公式的推导过程，掌握等比数列前n项和公式，并会解决一些简单的有关问题。

（2）过程与方法目标

经历通过数学多元表征揭示数学本质的过程，发现现象与本质的紧密联系；经历由提出猜想到自主探索过程，感受数学思想方法的合理性。

（3）情感态度与价值观目标

经历由特殊到一般的认识过程，受到辨证唯物主义思想的熏陶；体验知识再发现过程，感受科学探究的严谨，以及数学思考与探索的乐趣；体会类比、分类讨论等数学思想及其应用价值，培养将数学与生活相联系的学习习惯。

4.教学过程设计

（1）情境引入，提出问题

“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”（《庄子》）为什么万世取不完一尺之棰？请先将此问题转化为数学问题，并用数学知识解释它。由此引出：++++…+

【教学设想】利用数学史料引出问题，激发学生的学习兴趣。将一个具体问题经数学抽象变为等比数列求和问题，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。

（2）观察特例，提出猜想

引例为一个等比数列的前n项和，问题是如何求出++++…+，利用图1表征可以帮助提出猜想与证明。

回到本章教材的引言部分，要算出印度国王奖赏国际象棋发明者西萨的麦粒数目，可利用图形表征帮助学生发现规律：下一行的个数都是比前面所有行的个数之和多一个，如图2。

【教学设想】数学多元表征从不同角度揭示数学知识的本真意义，是促进数学理解的有效方式。多元表征是学习的手段而不是目的，通过图形表征、符号表征能达到发现一般规律的目的，通过视觉化表征能激发学生的兴趣，提高学生的认知水平与行为参与度。

（3）证明猜想，得出公式

让学生通过合理猜想、自主探究发现等比数列前n项和公式的推导方法。在此过程中鼓励学生立足于自身知识经验发散思维。结合学生实际可从以下几个层面给予引导：

1）类比等差数列，使用倒序相加，不行，怎么办？

①从猜想的和式（）的m（1-qn）结构特征去思考：

并利用古代“田忌赛马”策略对“错位相减法”的运算方式、过程进行形象的言语表征与视觉表征，体现教育形态下数学知识的应用。

②从猜想（）的公式结构特征去思考，还可以简化证明：

2）从等比数列的定义去思考，即利用和比定理法证明（既回到定义又体现“相加”与“错位”）：

3）从等比数列各项之间的符号特征去思考，即利用提取公因式法证明：

4）从归纳假设去思考，对基础较好的学生提示课后利用数学归纳法证明猜想（）。

当q=1时，显然sn=na1，根据猜想sn=m（1-qn），当时n=1，s1=a1=m（1-q），所以当q≠1时，m=……

【教学设想】1）①中（1）为何乘以公比q？视觉化表征起到了帮助突破难点的作用，m（1-qn）是思维导火线，由此可以发现乘公比q才得到qn这个形式，而（1）-（2）就会出现1-qn。经典故事的形象化表征是数学源于生活、服务于生活的价值体现。教学中鼓励学生模拟数学家的思维方式，发展创造性思维，同时让学生意识到猜想需要严格证明才能成为共识或定理，认识对公比q分类讨论的必要性，培养学生思维的严谨性。

（4）运用公式，提高认识

让学生利用所学知识解决简单实际问题，并设置有层次性的题目为课堂练习，兼顾不同程度的学生，促进学生理解与内化知识。

【教学设想】让学生动手解决实际问题，学以致用，提高学习热情，在问题解决中体验成功的喜悦。

（5）过程与方法小结

学生对本节课所涉及的数学知识、思想方法以及自己的情感体验进行回顾。

【教学设想】

教学目标是否达到，课程目标是否实现，要看学生对知识技能的掌握和学生在情感态度方面的收获。

三、教学设计说明

本节课教学线索是“提出猜想自主探究完善猜想简单应用”，强调学生通过自主探索获得发现的学习方法，运用数学多元表征帮助学生发现数学规律，注重培养学生的学习能力，让学生学会有效学习。按照建构主义观点，知识需要经过学习者的自身体验，才能被同化与顺应，因此教学设计注重体现学生的主体地位，发挥教师的引导作用。本节课注重以下几个方面：1.揭示知识背景。2.在教学中渗透数学思想方法，借助数学多元表征揭示数学规律。3.展示知识的发生和发展过程。4.让学生对所学知识进行内化与应用。学生在整个学习过程中动眼、动口、动手、动脑，进行由特殊到一般的归纳、猜想、证明，不仅能增强学生对数学活动的体验，还能训练学生“合情推理”，培养学生的问题意识、发散思维和解决问题的能力。教学中鼓励学生从多角度探究解决问题的方法，对于学生养成良好的数学学习习惯非常有好处。

（责编 王学军）