初中数学思想的教学研究

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[摘 要]《九年义务教育数学教学大纲》指出:“初中数学的基础知识主要是概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”把数学思想作为基础知识在教学大纲中明确规定，其重要性可见一斑。数学思想是数学的精髓，是数学知识的灵魂，是学生形成良好认知结构的纽带，是把知识转化为能力的桥梁。在初中数学教学过程中，数学思想的渗透对整个教学过程有着举足轻重的作用，本文主要阐述初中数学思想的重要性，简要分析几种有代表性的数学思想及其在初中数学教学过程中的应用，并指出如何在教学过程中渗透数学思想。

[关键词]初中数学 数学思想 应用 渗透

一、数学思想的重要性

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果，是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观念。米斯拉曾说：“数学是人类的思考中最高的成就。”

新的《课程标准》突出强调:“在教学中,应当引导学生在学好概念的基础上,掌握数学的规律:包括法则、性质、公式、公理、定理等数学思想和方法。”可见数学思想在初中数学教学过程中的重要地位。长期以来，传统的数学教学往往只注重知识点的传授，却忽视了知识形成过程中蕴含的数学思想，教师往往只要求学生牢记尽量多的定义、定理、公理、法则、结论等，却很少主动引导学生探寻这一切背后隐藏的规律，这严重地影响了学生的思维发展和能力培养。如果学生不从其形成的过程去理解，记得再牢的结论，也有被遗忘的一天。数学知识只是个载体，数学思想才是灵魂所在，把握住灵魂，学生才能更好地理解数学，掌握数学，从而培养其逻辑思维和解决问题的能力。

二、初中阶段几种主要的数学思想

初中数学蕴含的数学思想有很多，较为常见的有字母代数思想、整体思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等。下面就这几种数学思想进行分析。

（一）字母代数思想，顾名思义，就是用字母代替数的思想，例如用 表示某个数的绝对值，用 表示某个数的相反数，用一对有序实数 表示某个点在平面直角坐标系中的位置。初中数学采用字母代替数字进行推理与运算，使学生从小学过渡到初中。用字母代替数字，使数学变得更加符号化，更具抽象感，是从算术到代数的重要转折点。

（二）整体思想，就是要求从整体的角度去思考问题，把问题看成一个整体。在初中数学中，整体思想随处可见，在解方程、因式分解、求代数式的值、应用题等常常要用到。例如：已知 ,求 =? 运用整体思想，根据已知条件，可得： ，即 ，所以 ，即 = ，例题巧妙地运用了整体思想，求解代数式的值。

（三）“化归”，即转化和归结，就是把未知问题转化为已知条件，把复杂问题归结为简单问题，从而使很多问题得到解决的数学思想。化归思想联系着新旧知识，贯穿整个初中数学教学过程。高斯曾说“数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏极深。”在七年级上册第二章《有理数及其运算》中就体现了这一重要思想，如利用相反数，把减法转化为加法；利用倒数，把除法转化为乘法等。在解分式方程时，也通过把新问题——分式方程，通过去分母转化为旧知识——整式方程来求解。化归思想为初中生提供了一种开阔的解决问题的思路，例如，已知 -，求 的值。对于初中生来说，本题无法直接解出关于 的二元二次方程，但是如果从完全平方公式的特点着手，已知条件可以转化为 ，因为偶次幂具有非负性，即 ， ，所以， ，从而得出 ，这是很典型的运用化归思想把复杂问题转化为简单问题的的例子。

（四）数形结合也是初中数学中的重要思想。所谓数形结合，就是把问题的数量关系转化为图形的性质，把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象问题具体化。著名数学家华罗庚曾指出：“数无形，少直观，形无数，难入微。”数形结合的思想把代数和几何相连接，往往能使问题化难为易，化繁为简。在初中数学里，数轴就是数形结合一个简单而又生动的例子。利用数轴上数与点的对应关系，可以形象地理解相反数、绝对值的定义以及有理数大小的比较等，使抽象的概念生动易懂。数形结合的思想也贯穿了初中数学教材，例如七年级中的数轴，如：指出数轴上A、B、C各点分别表示什么数。

点A表示-3，点B表示0，点C表示2。是由“形”到“数”的思维过程。如：画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，-5，0，-4。是由“数”到“形”的思维过程。列方程解应用题中常用到的列表、图式，八年级中勾股定理的论证、函数的图像与函数的性质，九年级中用三角函数解直角三角形等都是典型的例子。

（五）分类讨论的思想，就是根据对象的属性异同，把同种属性的归入一类，不同属性的归入另一类的思想。它彰显了数学的逻辑性与条理性。分类讨论的思想在初中数学教材中无处不在，例如对有关 的问题，就要把绝对值内的代数式分为 三种情况加以讨论；在解含有字母系数的方程或者不等式时，如 ， 等，也要对字母的范围进行讨论；在解某些数学题时，它的结果可能并不是唯一的，这时也要根据不同的条件对可能出现的结果一一讨论，才能做到不漏解。

（六）函数与方程思想是初中数学的另一重要思想。所谓函数思想，是指将两个变量建立起对应关系，从而使问题得以解决的一种解题思路；方程思想，是通过已知与未知的联系建立起方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知数的值，从而使问题解决的思路。如：一商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？可设每件服装的成本价为x元，那么根据题意可列方程：（1+40%）x•80%-x=15解得：x=125从而解决了实际问题。函数与方程的思想也贯穿了整个初中数学教材，从正比例函数、一次函数、反比例函数到二次函数，从一元一次方程到一元二次方程，无不体现着该思想。

三、数学思想在教学过程中的应用和渗透

数学思想是数学的灵魂，数学知识是“鱼”，数学思想是“渔”，所谓“授人以鱼，不如授人以渔”。上文主要介绍了初中数学中几种常见且重要的数学思想，那么，如何在教学过程中渗透这些数学思想，使学生了解、熟悉、掌握并且懂得运用相关数学思想，从而把握数学的灵魂呢？

数学思想方法不像数学知识那样可以具体编排在某一章，某一节中，而是隐含在数学知识里，渗透在全部数学教学内容之中。数学概念、公式、法则、性质和定理等知识写在教材中是有“形”的; 而基本的数学思想在教材中大多数是以隐蔽的形式存在于字里行间, 它是无“形”的, 并且不成体系, 散见于教材各章节之中，需要经过教师的指点, 学生才能领会、掌握。这就要求教师在数学教学过程中，要根据所讲的内容和学生的实际，采取适当方法和措施，有意识地去体现和解释数学知识中蕴含的数学思想，反复讲练，潜移默化。

首先，在备课阶段，教师要从挖掘数学思想的高度深入钻研教材，挖掘出教材中每一个知识点所蕴涵的数学思想, 用数学思想去沟通知识点间的内在联系, 使学生对数学的本质和规律有更深刻的认识。如：在教学“合并同类项”时，3a+2b-5a-b=。考虑到优秀的学生对抽象的数学概念“同类项”会找出来，而中下层学生又要正确找出，并会合并，可让学生先完成：3个+2只-5个-1只=。3个香蕉+2只鸡-5个香蕉-1只鸡=。使各层次学生也学会“合并同类项”。教师对每一学年，每一学期，每一单元，甚至每一课时可以渗透什么数学思想，应该做到了然于胸，并且在备课过程中，选取和设计一些相应的习题，引导学生在解题的过程中，认识、了解相关数学思想，使课本的概念、公式、定理等与相关数学思想相融通。