由一道高中数学联赛题谈起

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1. 试题

（2012年全国高中数学联赛试题）“设f（x）是定义在R上的奇函数，且当≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，则实数a的取值范围.”

2 分析

由题意可得f（x）=x2，（x≥0）

-x2，（x

3. 说明

有一类求参数取值范围的问题，由于其参数含在函数的“f”记号里面，因此，我们必须借助于函数的有关性质和图像特征来脱去“f”记号，从而得到含有该参数的不等式（或不等式组），进而达到求出参数取值范围的目的. 在本题中，我们成功地将2f（x）转化成f（2x）后，就可以利用函数的单调性脱去“f”记号化归为“恒成立”问题来解决了.

4. 再例

例1 设定义在[-2，2]上的偶函数，f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1-m）

分析 本题欲求实数m的取值范围，则需列出关于实数m的不等式或不等式组，很显然要根据函数的单调性来脱去“f”记号，但我们注意到f（x）为[-2，2]上的偶函数，因此有f（1-m）

在这里，我们有效地利用了偶函数的性质，即f（x）=f（|x|），这样就将范围限制在[0，2]上求解，避免了分类讨论，使解答过程较为简洁自然.

例2 已知函数f（x）=sinx+5x，x∈（-1，1），且有f（1-a）+f（1-a）

分析 本题中f（x）的表达式在这里实质上只起到了帮助我们分析问题的一个切入点，因为本题的实质是利用函数的单调性脱去“f”记号，进而得出关于“a”的不等式（或不等式组），很显然f（x）在x∈（-1，1）上是奇函数和单调增函数，由此得：

在这里，f（x）的表达式是由两个具体函数y=sinx及y=5x通过“加”法而合成的，虽说这两个具体的函数都是我们所熟知的，但它们“加”起来之后却是我们所陌生的，于是，从研究函数的性质入手就显得较为自然了.其实，本题中f（x）的表达式还可以有如下的一些形式：f（x）=4sinx+2x，x∈（-1，1），f（x）=5sinx+x，x∈（-1，1），…，等等.

例3 已知y=f（x）是定义在R上的单调函数，实数λ≠-1，α=λ1+λ，β=11+λ，若|f（α）-f（β）|>|f（1）-f（0）|，求实数λ的取值范围.

分析 本题的难点在于|f（α）-f（β）|>|f（1）-f（0）|，即不等式的左右两边不是关于“f”记号的单项式，因而不能像例1和例2一样直接地利用函数的单调性来脱去“f”记号，但若我们注意到α+β2=1+02，即由α，β所构成的区间与由0，1所构成的区间有相同的中点，根据函数图像的特征有|f（α）-f（β）|>|f（1）-f（0）||α-β|>|1-0|，进一步又有|λ1|>|λ+1|，从而λ

【高考链接】（2005年辽宁卷理）已知y=f（x）是定义在R上的单调函数，实数x1≠x2，λ≠-1，α=x1+λx21+λ，β=x2+λx11+λ. 若|f（x1）-f（x2）|

由上面的“分析”、“说明”及“再例”使我们看到，当所求参数含在函数的“f”记号里面时，我们往往可以从函数的性质（主要是函数的单调性）入手，结合所给函数的图像特征，脱去函数的“f”记号，从而得到关于该参数的不等式（组）来完成解答.