浅析对称性在求函数最值中的运用

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摘 要：在高中数学学习中，最值问题除了可以运用函数知识解决以外，有时还可以通过运用数形结合，利用几何的方法――对称性来解决.仅从距离之和的最小值问题、距离之差的最大值问题等几个方面来探讨对称性在几何中的应用.

关键词：对称性；最大值；最小值；数形结合

数形结合是一种重要的数学思想方法，在中学教学上，它主要表现在运用图形的直观解决数量关系、利用数量关系揭示几何图形的性质、将数量关系和图形的性质在解题中串联结合使用这三个方面.

在学习中，常常会遇到一些求函数最值的问题.最值问题除了可以运用函数知识解决以外，有时还可以通过运用数形结合，利用解析几何的方法――对称性来解决.本文仅从以下几个方面谈谈对称性在几何中的应用，以求抛砖引玉.

一、距离之和的最小值问题

问题一、求函数f（x）=■+■的最小值.

解：对于这类问题，在解题时，会遇到很大的难度，有时会变得束手无策.但是我们注意到，函数的形式与解析几何中的两点间的距离公式很“像”，于是，我们不难将其变形整理得f（x）=■+■.

f（x）即为点P（x，0）与点A（0，4）的距离与点P（x，0）与点B （2，2）的距离之和.

即：f（x）=PA+PB，作A（4，1）关于x轴的对称点A（0，4）.

连结A′B与x轴交于点P，如图1，当（x，0）为点P时，f（x）min=PA+PB=PA′+PB′=AB′=■=■=2■.

推广1（平面）：

例1.已知平面上两点A（4，1）和B（3，3）在直线l：3x-y-1=0上找一点M，使MA+MB最小，求点M的坐标.

解：如图2，因为点A，B在直线l的同侧，作点B关于直线l的对称点C，AC与l的交点为M，则MA+MB取得最小值.

设C（x0，y0），因为BC被l垂直平分，所以

■-■-1=0■=-■

从而可得直线AC的方程为3x+4y-16=0与3x-y-1=0，联立解得x=■，y=3M（■，3）.

推广2（空间）：

例2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E是AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM+ME最小，最小值为________.

解：因为A，E在平面BB1D1D的同侧，在正方体中易知点A关于平面BB1D1D的对称点为C，则连接EC与平面BB1D1D的交点为M时，AM+ME最小为EC.

EC=■=■=-■a

说明：对于在直线（或平面）上求一点，使该点到两定点距离之和为最小的问题，当两点在直线（或平面）的同侧，可作出其中一点关于直线（或平面）的对称点，再求对称点与另一点的距离.这两点所在的直线与已知直线（或平面）的交点即为所求的点.

当两点在已知直线（或平面）的异侧时，可直接连结这两点，则这两点间的距离即为所求最小值，这两点所在的直线与已知直线（或平面）的交点为所求的点.

推广3：涉及多个点的距离之和的最小值，根据两点间直线段最短公理，知点共线时距离之和最小.

例3.二面角α-l-β的大小为60°，点P到α的距离为2，到β 的距离为3，A∈α，B∈β则PAB的周长的最小值为_________.

解：作P关于α，β对称点P1，P2，连结P1，P2交平面于A，交平面β于B.如图3，

CPAB=PA+AB+BP=P1A+AB+BP2=P1P2最小.

由二面角知识知∠P1PP2=180°-60°=120°，PP2=2×3=6，PP1=2×2=4.

在P1PP2中由余弦定理有P1P22=PP22+PP1-2PP1・PP2・cos120°=76°，

P1P2=2■则（CPAB）min=P1P2=2■.

二、距离之差的最大值问题

例4.求函数f（x）=■-■的最大值.

解：变形整理得

f（x）=■-■

f（x）即为点（x，0）到点A（1，2）的距离与点（x，0）到B（0，1）的距离之差.点（x，0）为x轴上的动点，连结AB与x轴交于点P，如图4，当点（x，0）为点P时，f（x）max=AB=■.

说明：对于在直线（或平面）上求一点使该点到两定点距离之差最大的问题，如果两点在已知直线（或平面）的同侧，可直接连接这两点，两点间的距离为最大值，这两点所在直线与已知直线（或平面）的交点即为所求的点.

如果两点在已知直线（或平面）的异侧，可作出其中一点关于直线（或平面）对称点，再求对称点与另一点间的距离，这两点所在直线与已知直线（或平面）的交点为所求点.

思考题：

1.正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两成40°角，侧棱长为6，D，E为PB，PC上的点，则ABC周长的最小值是________.

2.直线2x+3y-6=0交x，y轴于A，B两点，试在直线y=x上求一点P，使得PA-PB最大，并求最大值.

参考答案：

1.分析：此题涉及求立体几何图形上几点间的距离之和的最小值问题。应先化归成平面问题，然后根据点共线时距离最短求解.

解：将三棱锥P-ABC沿棱PA展开成平面图如图5，ABC的周长=AD+DE+EA.当点A，D，E共线，即连结AA′与PB交于点D，与PC交于点E时，距离之和最小.

ABC的周长的最小值=AA′由题意PA=6，PA′=6，∠APA′=∠APB+∠BPC+∠CPA′=120°，由余弦定理知AA′=6■.ABC的周长的最小值为6■

2.解：由题意知A（3，0），B（0，2），点B关于直线y=x的对称点为B′（2，0）

PA-PB=PA-PB′≤AB′=3-2=1=3-2=1，

当且仅当P与B′，A共线，又在y=x上，即P为直线B′A（即x轴）与y=x的交点（0，0）时，最大且最大值为1.

数形结合是一种重要的数学思想方法，本文从距离之和的最小值问题、距离之差的最大值问题等最值问题出发，利用解析几何的方法，来探讨对称性在几何中的应用.不仅使复杂问题简单化，还极大地拓展了解题思路，激发了创造性思维，使解决问题的能力得到了培养.

在数学学习中，我们要充分挖掘数学形式或图形的对称性，自觉地运用对称性特征去分析、解决具体问题，培养运用数形结合思想解决数学问题的能力.

参考文献：

[1]窦丹.“对称思想”对学生数学能力的培养和作用[D].东北师范大学，2005.

[2]彭丽樟.对称美与中学数学教学[D].华中师范大学，2008.

[3]刘汝霞.把数学美渗透到教学过程中[J].教育科学，2010（1）：168-182.

（作者单位 湖北省孝感市第一高级中学）