把“数学发现”的权利还给学生

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［摘

要］　本文针对上海教育出版社出版的九年义务教育数学八年级第二学期课本，着重讲解了勾股定理的教学设计，通过这一教学设计与反思，强调了教师在教学的过程中要强调学生的主动性，培养学生各方面的能力.

［关键词］　教学；勾股定理；设计；反思

■　教材简析

（使用教材：上海教育出版社出版九年义务教育课本数学（试用本）八年级第二学期）

勾股定理是平面几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在生产、生活实际中用途很大.　它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛应用.

勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值.　本节课是在学生已具备了直角三角形的有关知识，积累了一定的观察、操作等活动经验，具有一定的说理能力和初步推理能力的基础上学习的.　本节课可通过丰富的拼图实践活动，让学生经历验证勾股定理的过程，感受解决问题的方法的开放性，激发数学探究兴趣，享受数学思维的快乐，对培养学生良好的思维品质起重要作用.

■　设计理念

现代教学论认为数学课应该加强学生的数学活动，学生是活动的主人.　如果学生能在活动中把概念、定理、性质、公式等，通过自己的努力去发现和创造出来，这就是我们课堂教学中追求的最高境界，也是课程改革的迫切要求.　心理学家皮亚杰曾说过：“一切真理都要让学生自己去获取，由他重新发现，而不是草率地传授给他.　”

可是，长期以来，我们的数学课堂教学过于重视结论，而轻视了过程.　为了应付考试，为了使学生对公式、定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用“题海战术”进行强化.　在数学概念、公式、定理的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用“程式”的解题机器，这样的学生面临新问题时就会束手无策.

数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体.　新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验.　我意识到：在数学教学中，要让“教”和“学”和谐统一，形成感性到理性的认知过程，促进学生的全面发展.　教师的“教”应体现在创设情境、激发兴趣、组织探索、引导发现上，学生的“学”则应体现在操作讨论、探究发现、归纳结论上.

基于以上认识，在设计本节课时，我所考虑的不是简单地告诉学生勾股定理的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理、证明定理.　从发现定理的过程中让学生体会到：定理并不是凭空产生的，发现定理并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些好似数学家才能完成的事.　在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到了充分发挥，能极大地激发他们的学习兴趣，提高他们提出问题、解决问题的能力，同时培养他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念.

■　教学目标

通过本节课的学习，力求达到：

1.　理解和掌握勾股定理的内容及简单的应用.

2.　通过学生的动手操作及探求勾股定理的发现、证明过程，初步体会用面积法解决几何问题的基本策略，了解从特殊到一般的推理方法及数形结合的数学思想方法，初步培养学生探究问题的能力，增强逻辑思维能力.

3.　通过介绍我国古代学者发现及应用勾股定理的成就，感受祖国文化的悠久，激发学生的民族自豪感和爱国热情.

4.　通过活动讨论，增强合作意识，初步培养探索的精神，并体验探索成功的乐趣.

■　教学重点、难点

重点：勾股定理的内容及简单的应用.

难点：勾股定理的拼图证明.

■　教学过程

（一）创设情境？摇　导入新课

【电脑演示】

情境1？摇1995年希腊发行的一张邮票（图1）和ICM2002年国际数学家大会会标（图2），并出示问题：为何以这个图案发行邮票？以这个图案作为会标？

■

情境2

学校操场上，呈现升旗仪式场面照片，最后定格在旗杆照片，并出示问题：如何测算出学校操场上旗杆的高？

【设计意图：设疑激趣，明确目标】

新课标强调数学应返璞归真.　在教学过程中，要贯彻“生活即数学，生活即教材”的理念.　从生活中引出问题，从问题中引出课题.　通过创设恰当的情境，培养学生用数学的意识，教会学生观察生活，领悟生活中的数学因素.

问题是思维的出发点，通过有意识地设置问题情境，提出思考要求，能激发学生强烈的好奇心和求知欲.

（二）师生互动？摇　探究新知

【电脑演示】

实验猜想：给出三个具体的直角三角形.？摇用一把尺度量各直角三角形的三边，得到下列数据：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17.？摇？摇

引导学生对数据进行分析，猜想三边关系.　由32+42=52，52+122=132，82+152=172的关系式，学生可能会得出：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.

进一步引导学生：由特殊到一般的推理只是一种猜想，是否正确还须通过证明.

提出问题：对于一般的直角三角形，是否都有a2+b2=c2（其中a，b为直角边，c为斜边）？

【设计意图：探索发现，揭示新知】

从具体的图形入手，通过测量出具体的数据，经过计算、观察，发现结论，进而提出猜想，这种处理方法，一方面，符合学生的认知规律和心理发展规律，另一方面，也符合知识的发生、发展规律，有利于让学生经历知识的形成过程，有利于加深学生对数学学习的体验.

1.？摇证法探究

给出一套拼板（如图3，四个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形）　，请学生从中选出几个，拼成组合图形，要求学生设法利用组合图形的面积来证明上述结论，即证明a2+b2=c2（其中a，b为直角边，c为斜边）.

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采用小组合作探究的方式，给学生充分的时间进行拼图、思考、交流.　教师巡视，适时介入小组讨论.　当有小组找到解决方法后，请该组派一位同学代表上讲台，展示拼图方法，交流证法.　然后，教师借助电脑进行动态演示.　学生可能会通过以下几种组合图形的面积得到结论.

方法1

如图4，由AFE≌DEH推出∠AFE=∠DEH.　又因为∠AFE+∠AEF　=　90°，所以∠DEH　+∠AEF　=　90°.　于是可得∠FEH　=　90°.　同理可得∠FGH　=∠GHE　=∠EFG　=90°，所以S四边形EFGH？摇=　c2.　而S正方形ABCD=S四边形EFGH+4SAEF，即（a+b）2=c2+4×■ab，a2+2ab+b2=c2+2ab，所以a2+b2=c2.

方法2

与方法1的证法类似.　如图5，因为（b－a）2+4×■ab=c2，即b2－2ab+a2+2ab=c2，所以b2+a2=c2.　（介绍赵爽弦图及“演段算法”）

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方法3

如图6，因为■（a+b）（a+b）=2×■ab+■c2，所以a2+2ab+b2=2ab+c2，即a2+b2=c2.　（介绍此证法与美国第二十任总统珈菲尔德的证法一致）

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【设计意图：激活思维，加深体验】

《数学课程标准》指出：“数学教学活动必须向学生提供充分从事数学活动的机会.　”这就是指，学生在教师的引导下参与教学活动，体验、发现、归纳，即在教师的引导下发挥学生的主观能动性，体验数学的再创造过程.　这里设计拼图活动就是基于上述思考.

利用拼图证明勾股定理是一种开放性的探究活动，其起点低，层次多，目前已发现的证法有四百多种，学生易于下手，每个学生都有解决问题的机会，它促进学生智力因素与非智力因素的同步发展，激发学生的创造意识.

2.　定理推出

【板书勾股定理，介绍勾股定理，揭示课题引入时的问题】

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

【设计意图：数学文化，德育渗透】

我国古代的学者，对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理（比西方要早500多年），而且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家数学的影响很大，这些都是我国人民对人类的重大贡献.　通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，有利于激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，有利于培养他们的民族自豪感，并激励学生奋发图强，努力学习.　寓思想教育于学科教学中，这也是新课程所追求的.

3.　简单应用

【电脑演示】

例1　在等腰三角形ABC中，AB=AC=13　cm，BC=10　cm（如图7），求ABC的面积　.

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（教师板书解题过程，解题过程略）

例2？摇　有一旗杆，升旗用的绳子沿旗杆放下时，绳子下端有一部分在地面上，将地面上的这部分拉直后，量得绳子的下端点到旗杆底端的距离为0.2米，再将绳子拉直且下端点放在地上，此时量得绳子的下端点到旗杆底端的距离为2.2米.　问旗杆高度是多少？

【设计意图：内化新知，反馈调控】

这一环节是学生巩固知识、形成技能、发展智力的重要阶段.　例1是勾股定理的简单应用，通过例1的学习有利于学生加深对勾股定理的理解与掌握，强化基本技能，落实本节课的教学重点.　例2是一道实际素材背景的应用题，并与课题引入时的“情境2”首尾相顾，前后呼应，形成一个整体.　学生应用所学的知识，很快就能解决“课题引入”时的问题，不仅可以让学生经历勾股定理的应用过程，还可以让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的愿望与信心.

（三）自主小结？摇　深化提高

【以学生为主，教师与学生一起进行归纳小结，同时，电脑演示四个“一”】

一个定理……

一次探索……？摇？摇

一个思想……？摇？摇

一份自豪……

【设计意图：回顾整理，总结提升】

小结是对一节课的回顾与整理，也是落实学生主体地位的一个重要环节.　在教师的引导下，可让学生自己进行总结或师生合作，体现教学的民主性.　这样，不仅有利于培养学生的归纳、概括能力，帮助学生理清知识脉络，将所学的知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，深化本节课所学的内容，还有利于引导学生反思学习过程，认识自我、增强信心、巩固兴趣，让学生在愉悦的、学有收获的心境下结束本节课的学习.

（四）分层作业？摇　发展个性

必做题：教材P56练习1、2、3；练习册A册第23页　25.4（1）.

选做题：你能否将图8（两个正方形拼成的）剪两刀，拼成一个大正方形，使它的边长正好等于以a，b为直角边的直角三角形的斜边的长度？

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【设计意图：学以致用，巩固提高】

通过作业，深化新知，可以检验学生掌握知识的情况，发现和弥补“教”与“学”中的遗憾与不足.　作业采取“必做题”与“选做题”的处理，为不同程度的学生提供了更为广阔的探求空间.　一方面，尊重了学生的个体差异，有利于满足学生多样化的学习需求，“让不同的人在数学上得到不同的发展”，充分落实因材施教的原则；另一方面，选做题具有前瞻性，可引导学生自学探究，将学习由课堂延续到课外.

■　设计说明

1．　本节课教学设计力求以学生发展为本，以探究活动为核心，师生转换角色，营造良好的学习氛围，培养学生的探索精神，充分调动学生的积极性.

2.　学起于思，思起于疑，无疑则无知.　教育家托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是唤起学生强烈的求知欲望，激发学习的兴趣”，因此，新课引入时，充分利用多媒体教学的直观性，创设问题情境，能引发学生的思考和探究热情，能自然导入新课.

3．　“平面几何在中学数学教学中的真正价值在于它的训练性，即教育学生探索几何事实的过程远比其获得的几何事实有价值得多.　”本节课从直角三角形三边关系的猜测，面积方法的证明，到勾股定理的应用，始终为学生提供自主、合作探究的平台，始终以激励学生自主探索为主，教师辅以适时的引导.　学生通过动手操作，探索解决问题的多种途径，能激发学习数学的兴趣，培养探索几何事实的能力.

4.　数学蕴藏着丰富的文化内涵.　本节课设计了数学家的介绍，力求挖掘数学的文化宝藏，学生在生动的爱国主义教育中提高了文化修养.？摇

5.　勾股定理的应用方面，本节课设计了两个例题.　一个是课本中的一个练习，让学生掌握简单的应用；另一个问题来源于学生熟悉的学校操场，是学生身边的问题，学习将实际问题转化为数学问题.　安排这两个例题可以有效地帮助学生巩固知识，培养学生学数学、爱数学、用数学的意识.

6.？摇教学流程：

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■　教学思考

1.　数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程

《数学课程标准》特别指出：“数学教学是数学活动的教学.　学生要在教师的指导下，积极主动地掌握数学知识、技能，发展能力，形成积极主动的学习态度，同时使身心获得健康.　”数学教学过程是数学活动的教学，主要体现在：首先，数学活动是学生通过实践、思考、探索、交流、掌握和运用数学知识的活动.　简单地说，整个教学过程应该充分发挥学生的动手、动脑进行数学思维.　为了使学生的数学活动能够顺利进行，教师要创设学习环境，为学生提供进行数学活动的机会，并在学习活动过程中给予适当地指导.　其次，数学活动是学生在教师引导下自我建构数学知识的活动，即在数学活动过程中，学生与教材、学生与教师之间产生交互作用，自我建构数学知识结构，形成技能和能力，发展情感态度和思维品质.　教师要意识到学生是数学知识主动探索的“建构者”，决不是被动的接受者.　教师教学工作的目的就是引导学生进行有效地建构数学知识的活动.

2.　数学知识的“过程教学”与“结论教学”相统一

《数学课程标准》把对知识的“过程教学”作为课程目标的重要组成部分，从而突出了数学知识探究过程教学的重要地位.　传统的数学教学只注重数学知识结论的教学，学生学到的是一些现成的数学概念、公式、法则，及一些枯燥的数学符号，而对这些概念、公式、法则等的形成过程却很少过问.　这种教学把数学知识形成的生动过程变成了呆板的知识记忆，一切都是现成的，它排斥了学生的思考和个性，这实际上是对学生智慧和思维个性的扼杀、压制.　当然，对数学知识结论的学习也是必要的，因为这些数学知识结论（概念、原理体系）表征了数学探索的结果，是学生进行数学思考以及学习更高一级知识的基础.　但数学教学更为关键的是使学生在掌握知识结论的过程中学会数学思维和数学思想，会用数学思想解决问题.　因而，数学课堂教学既要求注重知识结论，又要求重视知识的形成过程.　根据数学的特点，在教学中注重知识探究过程的教学有着很重要的教育价值.　不仅仅是因为数学概念、原理、公式等体系依赖于探究过程，更主要的是数学知识的探究过程体现了数学多样化的思维和认识方式，并且包含了一系列的质疑、判断、选择、比较、分析、综合、概括等多种认知活动.　学生正是在知识的学习过程中培养了运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，进而解决日常生活问题的能力，增强了运用数学的意识，了解了数学的价值，增强了学好数学的信心，也通过探索知识过程的经历和获得知识的体验，进一步培养了学生的数学解决能力和创新精神.　所以，在教学活动中应尽可能地为学生创造自主探索的机会，使学生在自主探索的过程中真正理解一个数学问题是怎样提出来的，一个数学概念是如何形成的，一个结论是怎样探索和猜测到的以及是如何应用的.

3.　数学教学要从学生出发，以学生为本，关注学生创新思维的发展和学习价值观的形成

教师的教学是为了学生的发展，学生才是教师的“本”.　特别是数学学习，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性，每个学生在数学学习过程中都会表现出各自特有的学习方式和理解方式，那么教师的教学就不仅仅是按照课本进行知识点的讲解、习题的操练，更多的应该是从学生实际出发，注意其在数学学习中正确数学观的确立与数学能力的形成.　具体的教学设计方式可以是就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题，以便使不同的学生都能得到不同的发展；课堂例题、习题以及课后练习的设计编排要突出层次性，可以设置巩固性、拓展性、探索性等多种层次，在全体学生获得必要发展的前提下，让不同的学生获得不同的体验与发展.

培养学生的创新精神是新课程改革的核心目标之一.　创新的心理基础是创新思维.　关注学生的创新思维已成为全世界课程改革的特点，教师要关注学生在学习过程中有价值的思考，鼓励学生创新.　数学学习的过程是前人发现的一个“再发现”过程，学生在“再发现”的过程中被指引的是一条优化的道路，然而发现过程中必然会出现新的元素，所以教师在教学过程中不能单纯地强调学生在“再发现”中所达到的结果，还要关注和肯定学生在各自的“发现”中所展现的创新思维.

价值观是隐性课程的内容，潜移默化地对学生的学习产生引领作用.　数学学习不是单纯的一个逻辑系统教学，数学教学也是一种世界观、价值观的教学，数学教学有强大的人文功能，其人文渗透是学生价值观形成的重要营养成分，数学教师要关注学生学习价值观的形成.