导数 第10期

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有关导数在函数中的应用主要类型有:函数图象上的切线问题,函数的单调性,函数的极值和最值,在实际生活问题中导数的作用等,特别是导数的应用过程中出现分类讨论的情况往往是同学们解题的弱点,现结合教学实践,就这方面问题跟大家作个初步探究。

【例1】 (2011天津)已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R．

(1) 当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2) 当t≠0时,求f(x)的单调区间；

(3) 证明:对任意t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点．

分析 本题主要考察导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,曲线的切线方程,函数的零点,解不等式等基础知识,考察学生运算能力及分类讨论的思想方法。尤其在解决(2)(3)问题时,要找准问题讨论的切入点。

解 (1) t=1时,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,切点为(0,0),f′(x)=12x2+6x-6,

k=f′(0)=-6,

所求的切线方程为y=-6x．

(2) f′(x)=12x2+6tx-6t2,由f′(x)=0得,x=-t或x=t2．

t≠0,

当t

当t>0时,-t0,x∈-t,t2时,

f′(x)

(3) 证明:由(2)知,t>0时,f(x)在0,t2内单调递减,在t2,+∞内递增,故分两种情况讨论:当t2≥1即t≥2时,f(x)在(0,1)减,

f(0)=t-1>0,f(1)=-6t2+4t+3≤-6×4+4×2+3

对任意t∈［2,+∞),f(x)在(0,1)内存在零点;

当0

f(0)=t-1,ft2=-74t3+t-1,f(1)=-6t2+4t+3

若t∈(0,1］,ft2=-74t3+t-1

≤-74t3

f(1)=-6t2+4t+3≥-6t+4t+3=-2t+3>0,故在t2,1内有零点；

若t∈(1,2),f(0)=t-1>0,ft2=-74t3+t-1

对任意t∈(0,2),f(x)在(0,1)内均存在零点．

综上所述,对任意t∈(0,+∞),f(x)在(0,1)内均存在零点．

点评 利用导数研究函数的一些性质,在需要讨论时,要找到讨论的切入点,可以借助函数的图象。

【例2】 已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,a∈R．

(1) 讨论函数f(x)的单调性；

(2) 设a

分析 此函数非初等函数,因此必须用导数解决,求导之后须对a进行讨论。

解 (1) f(x)定义域为(0,+∞),f′(x)=a+1x+2ax=2ax2+a+1x

当a≥0时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增；

当a≤-1时,f′(x)

当-10,

当x∈-a+12a,+∞时,f′(x)

故f(x)在0,-a+12a上单调递增,在-a+12a,+∞上单调递减．

(2) 设x1≥x2,而a

所以对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于

对任意x1,x2∈(0,+∞),f(x2)-f(x1)≥4(x1-x2),即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1,

所以可构造函数g(x)=f(x)+4x,则g(x)在(0,+∞)内单调递减,

故g′(x)=a+1x+2ax+4≤0在(0,+∞)内恒成立,所以a≤-4x-12x2+1恒成立,

而-4x-12x2+1=(2x-1)2-4x2-22x2+1

=(2x-1)22x2+1-2≥-2,

所以a的取值范围是-∞,-2．

点评 本题难点在第(2)小题,要把条件x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|进行等价转化,从而构造一新函数,再利用导数解决。

实战演练

1. 已知曲线y=14x2-3lnx的一条切线的斜率为-12,则切点的横坐标为．

2. 已知f(x)=x3-3x,过点P(-2,-2)作此函数图象的切线,则切线的方程为 ．

3. 已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a)．

(1) 若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,求a的取值范围；

(2) 若f′(-1)=0,求函数y=f(x)在-32,1上的最大值和最小值．

【参考答案】

1. 2

2. y=9x+16或y=-2

3. (1) 函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,

f′(x)=0即3x2+2ax+1=0有实数解,

Δ=4a2-4×3×1≥0,解得a≤-3或a≥3,

a的取值范围为(-∞,-3］∪［3,+∞)．

(2) f(x)=(x2+1)(x+a)=x3+ax2+x+a,f′(x)=3x2+2ax+1．

又f′(-1)=0,3-2a+1=0,a=2,

f(x)=x3+2x2+x+2,f′(x)=3x2+4x+1=(x+1)(3x+1)．

由f′(x)=0得,f(x)的极点为-1和-13．

f(-1)=2,f(1)=6,f-13=5027,f-32=138,

在-32,1上,fmax(x)=f(1)=6,

fmin(x)=f-32=138.