Γ-半群的Fuzzy理想

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收稿日期:2009-09-15.

基金项目:云南省教育厅科学研究基金（07Y10100）.

作者简介:穆凤（1982-），女，助教.主要研究方向：模糊数学.

摘要: 给出了Γ－半群上的fuzzy子半群和Fuzzy理想概念，并利用Fuzzy点重于一个Fuzzy集的关系，给出了Γ－半群的(∈,∈∨q)－Fuzzy理想定义，并对其特征和相关性质进行了讨论.

关键词: Fuzzy点；重于；Γ－半群；(∈,∈∨q)－Fuzzy理想

中图分类号:O159

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)04-0257-04

The Fuzzy Ideals of a Γ-Semigroup

MU Feng，HUANG Xiaokun

(Department of Mathematics, Honghe University, Mengzi 661100, China)

Abstract: This paper studies the fuzzy ideals of a Γ-semigroup. Using the ideal of quasi coincidence of a fuzzy point with a fuzzy set, the concepts of (∈,∈∨q)-fuzzy ideals of a Γ-semigroup are introduced, and the characterizations of them are given. Finally, some related properties are investigated.

Key words: fuzzy point；quasi coincidence；Γ-semigroup；(∈,∈∨q)-fuzzy ideals

1965年，美国科学家Zadeh提出Fuzzy集理论［1］，Rosenfeld将它应用到代数理论的研究中，开创了模糊数学的重要分支――模糊代数［2］,此后，这一领域的研究得到了快速发展［3-6］.1980年，我国学者刘应明等提出了Fuzzy点的概念［7］，利用Fuzzy点属于、重于一个Fuzzy集合的关系，印度学者Bhakat和Das定义了群的(∈,∈∨q)－Fuzzy子群［8-9］，从而推广了Rosenfeld提出的Fuzzy子群.1981年，Sen等通过将半群中的代数运算扩张为集合，给出了Γ－半群定义［10-11］，这一新代数结构的提出随即引起了众多学者的关注，他们对此进行了大量研究，并取得了一系列成果.在上述工作基础上，本文将对Γ－半群的Fuzzy理想进行研究，首先给出Γ－半群的Fuzzy理想定义，其次利用模糊点重于一个Fuzzy集合的关系对其进行推广，建立了Γ－半群的(∈,∈∨q)－fuzzy理想结构，并对其特征和相关性质进行讨论.

1 预备知识

设S和Γ为2个非空集合.若存在从S×Γ×S到S的一个映射（记(a,γ,b)=aγb）满足：对任意a,b,c∈S，γ,μ∈Γ，均有(aγb)μc=aγ(bμc)，则称S是一个Γ－半群.

设S是一个Γ－半群.S的一个非空子集T称为S的一个子半群，若a,b∈T，γ∈Γ，均有aγb∈T；S的一个子半群T称为一个S的左理想，若SΓTT；S的一个子半群T称为S的一个右理想，若TΓST；S的一个非空子集T称为一个S的理想，若T既是S的一个左理想又是S的一个右理想.

以下若无特别说明，S总表示一个Γ－半群.

映射A∶S［0,1］称为S的一个Fuzzy子集，并用F(S)表示S的所有Fuzzy子集构成的集合.设DS且t∈［0,1］，用符号tD表示S的一个Fuzzy子集：当x∈D时，tD(x)=t；当xD时，tD(x)=0.

定义1［7］ S的一个具有如下形式的Fuzzy集

A(y)=t≠0,y=x，

0, y≠x.

[JP+2]称为S上的一个Fuzzy点，记为xt.如果A(x)≥t,称Fuzzy点xt属于一个Fuzzy集A，记为xt∈A；如果A(x)+t>1,称Fuzzy点xt重于一个Fuzzy集A，记为xtqA；若xt∈A或xtqA，则记xt∈∨qA.xtA,xtA和xt∈∨qA分别表示xt∈A,xtqA和xt∈∨qA不成立.[JP]

特别地，我们约定：对于S的2个Fuzzy子集A,B，如果xt∈Axt∈∨qB，则记A∨qB.

定义2［7］[JP+2] 设A是S一个Fuzzy子集，t∈［0,1］，记At={x∈SA(x)≥t}={x∈Sxt∈A}，A′t={x∈SA(x)>t}，sup p(A)={x∈SA(x)>0}，［A］t={x∈Sxt∈∨qA}分别称为A的截集、强截集、承集和∈∨q－截集.[JP]

2 Γ－半群的Fuzzy理想

定义3 设A∈F(S).称A是S的一个Fuzzy理想，如果x,y∈S，γ∈Γ，均有A(xγy)≥A(x)∨A(y)（即x,y∈S，有∧γ∈ΓA(xγy)≥A(x)∨A(y)）.

定理1 设A∈F(S).则A是S的一个Fuzzy理想当且仅当t∈［0,1］，若At≠φ，则At是S的一个理想.

证明 设A是S的一个Fuzzy理想，t∈［0,1］，若At≠φ，则对x∈At,y∈S，我们有∧γ∈ΓA(xγy)≥A(x)∨A(y)≥A(x)≥t，即γ∈Γ，xγy∈At.同理可证γ∈Γ，有yγx∈At.因此，At是S的一个理想.

反之，假设t∈［0,1］，At是S的一个理想.对x,y∈S，令t=A(x),r=A(y)，显然x∈At,y∈Ar.由于At,Ar均是S的理想，所以对γ∈Γ，xγy∈At，xγy∈Ar即A(xγy)≥t=A(x)∧A(y).

定义4 设A,B是S的2个Fuzzy子集，定义它们的Γ－积AΓB如下

（下转第268页）