课例:以退为进
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倡导积极主动勇于探究的学习方式，是高中课程改革的基本理念之一，通过积极的探究活动使学生体验数学发现和创造的历程，可以培养学生的创新意识和创新精神．一位教育家说过：平庸的教师只是叙述，良好的教师是讲解，优异的教师是示范，伟大的教师是启迪．为此作为教师要善于激励引导学生去探究，展现问题的精彩，享受探究的乐趣，无疑对培养学生的学习和探究能力是大有益处的，今举本人参加市名师评选的一堂课例(学生为刚毕业的初三学生)，仅以此作为引玉之砖．
1 创设情境，激发兴趣
师：同学们，倘若你有一个苹果，我也有一个苹果，而我们彼此交换这些苹果，那么，你和我各有几个苹果？倘若你有一种方法，我也有一种方法，而我们彼此交流这些方法，那么，我们每个人将各有几种方法？
今天，这节课我们就来交流解决这些问题(挥挥手中的教案纸)的方法，这样我们就会拥有更多的解决问题的策略，达到提升我们解题能力的目的．
2 师生合作，共同探讨
师：你们上楼时一般是一级一级而上，还是两级两级上，有没有一步迈三级的同学？下面的问题就与你们上楼梯有关，请听题：
问题1：一个楼梯共有9级台阶，规定每步可以迈一级台阶、二级台阶或三级台阶，从地面到最上面一级台阶，共有多少种不同的上法？
师：请同学们独立思考．(行间巡视)
请小组内交流一下各自的思考过程(大约三分钟)；请能够解决这个问题的小组成员举手，请小组内派一名代表发言．
生1：……，教室内一片嘈杂，此时我意识到学生难有统一的看法，处理方法也难以表达清楚．
师：你们能依次解决从一级到九级的情形吗？即把问题退到较为简单的情况．
生2：如果只有一级台阶，有1种上法．
如果有二级台阶，那就有2种上法：第一种是一级一级地上，第二种是一步跨上第二级台阶．
如果有三级台阶，那就有4种上法：第一种是一级一级地上，第二种是先一步上一级，再一步上两级，第三种是先一步上两级，再一步上一级，第四种是一步上三级．
生2：如果有四级台阶则有下列三种情况：
(1) 如果第一步上一级，那剩下来的三级就有4种上法；
(2)如果第一步上二级，那剩下来的二级台阶就有2种上法；
(3)如果第一步上三级，那剩下来的一级就有1种上法，所以四级台阶就有4+2+1=7种上法．
生3：五级台阶：有下列三种情况：
(1) 如果第一步上一级，那剩下来的四级就有7种上法；
(2) 如果第一步上二级，那剩下来的三级台阶就有4种上法；
(3) 如果第一步上三级，那剩下来的二级就有2种上法．所以五级台阶就有7+4+2=13种上法．
生4：六级台阶：13+7+4=24种上法；
七级台阶：24+13+7=44种上法；
八级台阶：44+24+13=81种上法；
九级台阶：81+44+24=149种上法．
在学生回答好之后，总结：
师：同学们解决问题时用到数学上一种重要的解题策略：退中求进．(板书课题)先从9级台阶这样一种复杂的问题“退”到简单的1级、2级、3级的情况考虑，再从简单的情况向4级、5级、6级“前进”，从中发现了规律，从而解决了问题．
(板书：以退为进．1、由复杂退向简单)
师：请同学们再来玩一个跳格游戏：
某人从格外只能进入第1格，在格中，每次可向前跳1格或2格，这人从格外跳到格10，共有多少种不同的跳法？
学生自行思考，不时小组内窃窃私语，不少同学频频含笑点头(3分钟)
生：从格1到格10的跳法依次是：
1，1，2，3，5，8，21，44，65，109，……
师：这就是数学上非常著名的“斐波那契数列”，同学们将在高中进一步研究它的性质，它还有很多有趣的数学内涵，有兴趣的同学可以上网搜索．
师：问题2：三角形的三个顶点及其内部的n(n为自然数)个点，可以把三角形分割成多少个互不重叠的三角形．
学生分组讨论，组间互相交流，不断补充修正，学生得到了完整的推广和严密的证明．
简析：从特殊的图形入手：
(1)三角形内有一点如(图1)
(2)在图1的基础上再加一个点P2，若P2点在已有三角形内部(如图2)；若P2点在已有三角形一边上(如图3)．由图3可知添加的位置对产生的结论并没有影响．
(3)一般性方法分析，可得下表
(4)一般性结论：三角形的三个顶点及其内部的n个点，可以把三角形分成(2n+1)个互不重叠的三角形．
师：(板书：2、从一般退向特殊)，中国现代数学家华罗庚曾说：“要善于退，退到最原始而不失重要性的地方为止，这是学习数学的一个诀窍．”
练习：(1) 平面内有n条直线，最多可以将平面分成几部分？(2) 由1000个1组成的千位数除以3，余数是多少？
3 归纳总结，点拨升华
师：生活中我们常说“退一步海阔天空”，学习上我们也可以如此，因为客观事物的发展，总是由简单到复杂，由特殊到一般，由具体到抽象．人们对客观事物的认识是如此，同学们对知识的学习过程更是如此．当我们面对一个复杂的数学问题一筹莫展的时候，不妨先退一步，退到简单的、特殊的、具体的情况下去思考．在特殊情况下，矛盾比较集中，常常可以突出问题的关键，便于揭示其本质．而且，从特殊化的简单问题中探求出的解法，对解一般性的问题可能有所启发，从而使问题最终得以解决．
退是为了进，为进而退，退中悟理，执理而进，这就是化归的数学思想方法．当你在解决问题的过程中思路受阻时，不防考虑“退中求进”的解题策略．
4 教学反思，总结提高
(1)变“组织教学”为“动机激发”
其目的是让学生在师生交往的情境中受到某种刺激，对将要学习的内容产生需求的欲望，进而形成学习的动机．
学习动机是学生系统中重要的动力因素，在学习过程中起着“核心”作用．没有学习动机，就不会有积极主动的学习活动．学生的学习动机不会无缘无故的产生，而要靠教师在师生的交往中去激发、去培养．
(2)变“讲授知识”为“主动求知”
其目的是让学生摆脱教师那种生浇硬灌的教学模式，掌握学习的主动权，根据自身的实际来选择、探求蕴藏在教材中的知识．教师要让教学在彼此质疑、共同思考之中展开，让学生的学习在彼此交流、相互促进之中深入．教在学后，学在教前，生为主帅，师为参谋．
(3)有意识地推荐介绍了一些数学课外读物，让学生通过适当的课外活动以拓宽知识面和发展学生应用数学知识、数学思想方法的能力．
(4)本节课在学生活动环节上还稍松散一点，数学的运用环节时间要再充分一点，这样对学生的思维能力提高就会更好一点．
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