多视角审视一道立体几何题

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇多视角审视一道立体几何题范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

教材原题（人教A版高中数学教材选修2-1第109页例4）如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.

（1）求证：PA∥平面EDB；

（2）求证：PB平面EFD；

（3）求二面角C-PB-D的大小.

难度系数0.65

思路分析要想证明PA∥平面EDB，可以取BD的中点为O，连接EO，证明PA∥EO即可；要想证明PB平面EFD，可以证明PB垂直于平面EFD内的两条相交直线；要想求二面角C-PB-D的大小，可知∠DFE即为所求角的平面角.

方法1（1）证明：连接AC交BD于点O，连接EO.PE=CE，AO=CO，PA∥EO.PA∥平面EDB.

（2）证明：PD底面ABCD，BCPD.又BCDC，BC平面PCD，即BCDE.PD=DC，PE= CE，DEPC.DE平面PBC，则有DEPB.PBEF，PB平面EFD.

故二面角C-PB-D的大小为60°.

思路分析要想证明线面平行，可以证明面面平行，作一个辅助面PKH平行于平面EDB；要想证明线面垂直，可以利用三垂线定理进行证明；二面角一般是按作、指、证、求的步骤求解，可以过点C向平面PBD作垂线，再过垂足向棱PB作垂线交PB于一点M，连接CM，可得所求角的平面角.

方法2（1）证明：如图2所示，延长CB到点H，使BC=BH；延长CD到点K，使CD=DK.连接HK且过点A.PE=CE，EB∥PH，ED∥PK.平面EDB∥平面PKH.PA∥平面EDB.

（2）证明：PD底面ABCD，平面PCD平面ABCD.BC平面PCD.平面PCD平面PBC.

DEPC，DE平面PBC.EFPB，DFPB.又EF∩DF=F，PB平面EFD.

思路分析建立适当的坐标系，利用空间向量证明直线与平面平行或垂直，求二面角的大小可建立空间直角坐标系，设点D为坐标原点，且DC=1.

思路分析利用平面的法向量进行证明.要想证明PA∥平面EDB，可以证明PA与平面EDB的法向量垂直；要想证明PB平面EFD，可以证明PB与平面EFD的法向量平行；要想求二面角C-PB-D的大小，可以求平面PBC与平面PBD的法向量所成的角.

方法4建立空间直角坐标系，设点D为坐标原点，且DC=1.

规律总结证明线面平行的方法一般有三种：①证明线与线平行，常用技巧是取边的中点，利用中位线证明；②先证明面面平行，然后证明线面平行；③利用向量法可以证明线与面的法向量垂直.证明线面垂直，可以证明直线垂直于平面内的两条交线，也可以证明直线与平面的法向量平行.

求二面角常用的方法有：①定义法；②垂面法，如方法1；③利用三垂线法，如方法2.

郭统福，中学高级教师，先后在《高中生》等刊物上发表文章200多篇，主编或参编20多部教辅书.阅读他的其他文章，请点击《高中生》・高考网.

（责任编校周峰）