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在学习空间几何体的表面积和体积问题时,利用表面积和体积公式计算有关的问题,常会
由于基础知识掌握不牢,产生以下几种错误.
一、动起来,防止公式记忆错误致误
例1 底面是菱形的直棱柱,它的对角线的长分别是9和15,高是5,求这个棱柱的侧
面积.
错解 设底面菱形的边长为x,
则([KF(]2[KF)]x)2+52=92,
所以菱形的边长x=2[KF(]7[KF)],
所以S=4×2[KF(]7[KF)]×5=40[KF(]7[KF)].
剖析 直棱柱的侧面积为底面周长乘于高.错解中把底面菱形当成了正方形.
正解 设底面两条对角线的长分别为a,b,
则a2+52=92,b2+52=152,
得a2=56,b2=200.
所以菱形的边长
x=[KF(]([SX(]a[]2[SX)])2+([SX(]b[]2[SX)])2[KF)]=8.
因此S=4×8×5=160.
点评 脑要动起来,正确分析题目中的已知条件,从而确定出侧面积.
二、思起来,分清楚多面体与几何体的结构特征
例2 在球内有相距1 cm的两个平行截面,截面面积分别是5π cm2、8π
cm2,求球的面积和体积.
错解 画出轴截面,如图1.圆O是球的大圆,A1B1、A2B2分别是两条
平行截面圆的直径,过O作OC1A1B1于C1,交A2B2于C2.
由于A1B1∥A2B2,所以OC2A2B2.
由圆的性质可得,C1、C2分别是A1B1、A2B2的中点.
设两平行平面的半径分别为r1、r2,且r1>r2,由题意得
πr21=8π,πr22=5π,
所以r21=8,r22=5.
又OA1、OA2都是球的半径R,
所以OC1=[KF(]R2―r21[KF)]=[KF(]R2―8[KF)],
OC2=[KF(]R2―r22[KF)]=[KF(]R2―5[KF)],
所以[KF(]R2―5[KF)]―[KF(]R2―8[KF)]=1,
解得R2=9.
所以S球=4πR2=36π(cm2),
V球=[SX(]4[]3[SX)]πR3=36π (cm3).
剖析 错解中只考虑了两个平行截面位于球心的同侧,而忽略了两个平行截面
位于球心两侧的情况.
纠正 (1)当两个平行截面位于球心的同侧时,见原解.
(2)当两个平行截面位于球心的两侧时,画出轴截面,如图2.
由|OC1|+|OC2|=1,
有[KF(]R2―5[KF)]+[KF(]R2―8[KF)]=1.
因为R2>8,所以[KF(]R2―5[KF)]>1,
所以[KF(]R2―5[KF)]+[KF(]R2―8[KF)]=1无解.
即此种情况不成立.
综上所述, 球的面积为36π cm2,体积为36π cm3.
点评 思考起来,,通过分类讨论,找出所适合情况的球面积,从而解答该
问题.
三、勘起来,画出简单的组合体适当的截面图
例3 已知球的内接正方体的体积为V,求球的表面积.
错解 如图3,作圆的内接正方形表示正方体的截面.设正方体的棱长为x,球
的半径为R,则有
x3=V,[KF(]2[KF)]x=2R.[JB)]
解得R=[SX(][KF(]2[KF)][]2[SX)][KF(S]3[]V[KF)].
则S球=4πR2=2π[KF(S]3[]W2[KF)].
即球的表面积为2π[KF(S]3[]V2[KF)].
剖析 过球内接正方形的一个对角面作球的大圆截面,得到的是一个宽为正
方体棱长x,长为[KF(]2[KF)]x,对角线长为[KF(]3[KF)]x的矩形(如图4),故错解所作的大
圆截面是错误的.因此,将错解中的第二个方程改为[KF(]3[KF)]x=2R即可.
正解 如图4,作圆的内接长方形表示正方体的截面.设正方体的棱长为x,球
的半径为R,则有
x3=V,[KF(]3[KF)]x=2R.[JB)]
解得R=[SX(][KF(]3[KF)][]2[SX)][KF(S]3[]V[KF)].
S球=4πR2=3π[KF(S]3[]V2[KF)].
即球的表面积为3π[KF(S]3[]V2[KF)].
点评 解决问题中一定要注意不断勘误,仔细审题,把可能出现的错误降低
到最小程度.
【作者单位:(215600)江苏张家港职业教育中心】