用坐标关系判断图象变换

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提问： 要把y=sinx的图象变换为y=sin（ωx+φ）（ω>0，φ>0）的图象，可以先将y=sinx的图象向左平移φ个单位，再将每个点的横坐标伸缩为原来的；也可以先将y=sinx每个点的横坐标伸缩为原来的，再将图象向左平移个单位.这两种变换方法只是平移和伸缩的先后顺序不同，为什么两次平移的长度不同？

回答： 先分析“先平移后伸缩”的情景：经过平移变换，y=sinx的图象上每个点的横坐标都左移了φ个单位，得到y=sin（x+φ）的图象；经过伸缩变换，图象上任意两点间的距离伸缩为原来的，即每个点的横坐标都转化为原来的，因此得到y=sin（ωx+φ）的图象.在两次变换中，变化元始终是x.

再分析“先伸缩后平移”的情景：经过伸缩变换，y=sinx的图象上每个点的横坐标都转化为原来的，得到y=sinωx的图象.此时变化元由x转变成了ωx.由于平移是将y=sinωx整个图象向左平移，若仍将图象上每个点的横坐标左移φ个单位，就会得到y=sinω・（x+φ）=sin（ωx+ωφ）的图象.要得到y=sin（ωx+φ）的图象，只需将图象上每个点的横坐标左移・φ=个单位即可.

可见，“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”之所以会导致平移的长度不同，是因为两者的变化元存在差别.

对于三角函数图象变换的问题，我们不仅可以根据“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”导致函数变换中变化元不同的区别来解决，还可以从坐标关系出发，分析图象变换的本质.

通过平移和伸缩把y=sinx的图象转变为y=sin（ωx+φ）（ω>0，φ>0）的图象，函数图象上的点的横坐标发生了两次变换.由于y=sinx与y=sin（ωx+φ）均为正弦函数且两者的图象存在相互转换关系，故在y=sinx与y=sin（ωx+φ）中，对于同一y，y=sinx中的x应与y=sin（ωx+φ）中的ωx+φ一一对应.我们可以设原函数y=sinx的横坐标为X，变换后得到的函数y=sin（ωx+φ）的横坐标为x，则坐标关系应满足X=ωx+φ.根据等式求出x与X的关系，就能判断原函数y=sinx的图象是如何经过平移与伸缩变换为y=sin（ωx+φ）的图象的.

下面，我们通过一道例题来体验这种方法.

例 为了得到函数y=sin2x-的图象，只需把函数y=sin2x+的图象

（A） 向左平移个单位 （B） 向右平移个单位

（C） 向左平移个单位 （D） 向右平移个单位

解： 在函数y=sin2x-与函数y=sin2x+中，对同一y对应的x不同.设原函数图象的横坐标为X，经变换后函数图象的横坐标为x，则由2X+=2x-可得x=X+，即变换后的函数图象的横坐标比原函数图象上对应点的横坐标多个单位，故只需把原函数y=sin2x+的图象向右平移个单位，就能得到函数y=sin2x-的图象，选B.

利用坐标关系求解函数图象变换问题时，我们可以参考以下结论：若函数Y=sin（ω1X+φ1）的图象变换为y=sin（ω2x+φ2）（ω1，ω2>0）的图象，根据坐标关系式ω1X+φ1=ω2x+φ2可解得x=X+.

观察x=X+中的两个重要数值与，据此可判断函数Y=sin（ω1X+φ1）的图象是如何变换为y=sin（ω2x+φ2）的图象的.

先平移后伸缩：把Y=sin（ω1X+φ1）的图象平移个单位――当0时右移，再将每个点的横坐标伸缩为原来的，就得到了y=sin（ω2x+φ2）的图象.

先伸缩后平移：将Y=sin（ω1X+φ1）的图象的横坐标伸缩为原来的，再把图象平移个单位――当0时右移，就得到了y=sin（ω2x+φ2）的图象.