向量数量积的综合应用

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向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术问题的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质.注重基本概念和基本运算的学习，对概念要理解深刻到位，运算要准确，尤其是向量互相垂直、平行的充要条件和平面向量基本定理（包括坐标运算），应当达到运用自如、熟练掌握的程度；其次学习中应把向量与其他知识内容进行整合，将几何问题、函数问题、三角问题、以后学到的解析几何问题等转化为向量运算，特别是坐标形式的向量运算问题，充分揭示数学中化归思想的深刻含义，同时也显示出向量的巨大威力.由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题；加强向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性；因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想.向量在高考中的考查要求较高，平面向量的概念，平面向量的加法、减法及数乘运算，平面向量的坐标表示，平面向量的平行与垂直等为B级要求；平面向量的数量积为C级要求.

近几年在高考中的考查从题型和内容上分析如下：1.题型、题量保持稳定；2.注意双基考查；3.以能力立意，注重知识之间的综合，凸现平面向量的工具作用，综合题主要以与函数、三角解析几何等知识结合的形式出现.

解决此类问题必要的知识基础如下：

1.两个向量的夹角定义1范围已知两个非零向量a，b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角（如图）

1向量夹角θ的范围是[0，π]，当θ=0或π时，两向量共线，当θ=π12时，两向量垂直，记作ab2.平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积（或内积），记作a·b.即a·b=|a||b|cosθ规定0·a=0.

3.向量数量积的运算律

（1）a·b=b·a

（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）

（3）（a+b）·c=a·c+b·c

4.平面向量数量积有关结论

已知非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）结论1几何表示1坐标表示模1|a|=a·a1|a|=x21+y21夹角1cosθ=a·b1|a||b|1cosθ=x1x2+y1y21x21+y21x22+y22ab的充要条件1a·b=01x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系1|a·b|≤|a||b|1|x1x2+y1y2|≤

（x21+y21）（x22+y22）在向量数量积的考查中，着重有这样一些考点：

一、平面向量数量积的运算

例1已知两个单位向量e1，e2的夹角为π13，若向量b1=e1-2e2，b2=3e1+4e2，则b1·b2=.

解析：由题设知|e1|=|e2|=1，

且e1·e2=112，

所以b1·b2=（e1-2e2）·（3e1+4e2）=3e21-2e1·e2-8e22=-6.

分析：向量的数量积有两种计算方法：一是根据数量积的定义进行计算，二是依据向量的坐标进行计算.

悟：利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下：

（1）若a=（x，y），则|a|=x2+y2；

（2）|a|2=a2=a·a；

（3）|a±b|2=a2±2a·b+b2.

二、平面向量的距离和夹角问题

例2若向量a=（1，2），b=（1，-1），则2a+b与a-b的夹角等于.

解析：2a+b=（3，3），a-b=（0，3），则cos〈2a+b，a-b〉=9132×3=212，故夹角为π14.

例3若a，b，c均为单位向量，且a·b=0，（a-c）·（b-c）≤0，则|a+b-c|的最大值为.

解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出a，b，c的模为1，由a·b=0及（a-c）·（b-c）≤0，可以知道（a+b）·c≥c2=1，因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c，

所以有|a+b-c|2=3-2（a·c+b·c）≤1，

故|a+b-c|≤1.

所以|a+b-c|的最大值为1.

悟：1.|a|=a·a常用来求向量的模；

2.当a，b是非坐标形式时，求a，b的夹角，需求出a，b和|a|，|b|或直接得出他们之间的关系，若a，b是坐标形式，则可以直接利用公式cosθ=x1x2+y1y21x21+y21x22+y22.

注意：1.解决夹角问题时一定要注意向量是否共起点，否则会造成失误；

2.向量的数量积的运算律类似于多项式的乘法法则，但是并不是所有的乘法法则都可以推广到向量数量积的运算，如（a·b）c不一定等于a（b·c）；

3.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角就是钝角.

三、两向量垂直问题

例4设a=（1+cosx，1+sinx），b=（1，0），c=（1，2）.

（1）求证：（a-b）（a-c）；

（2）求|a|的最大值，并求此时x的值.

解析：（1）证明：（a-b）=（cosx，1+sinx），

（a-c）=（cosx，sinx-1），

（a-b）·（a-c）=（cosx，1+sinx）·（cosx，sinx-1）=cos2x+sin2x-1=0.

（a-b）（a-c）.

（2）解：|a|=（1+cosx）2+（1+sinx）2=3+2sinx+2cosx=3+22sin（x+π14）

≤3+22=2+1，

当sin（x+π14）=1，即x=π14+2kπ（k∈Z）时，|a|有最大值2+1.

悟：非零向量ab的充要条件是a·b=0是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.

四、平面数量积的应用

例5已知ABC为锐角三角形，向量m=（3cos2A，sinA），n=（1，-sinA），且mn.

（1）求∠A的大小；

（2）当AB=pm，AC=qn（p>0，q>0），且满足p+q=6时，求ABC面积的最大值.

解析：（1）mn，3cos2A-sin2A=0.

3cos2A-1+cos2A=0，cos2A=114.

又ABC为锐角三角形，cosA=112.

A=π13.

（2）由（1）可得m=（314，312），n=（1，-312）.

|AB|=2114p，|AC|=712q.

SABC=112|AB|·|AC|·sinA=21132pq.

又p+q=6，且p>0，q>0，

p·q≤p+q12，

p·q≤3.pq≤9.

ABC面积的最大值为21132×9=189132.

悟：平面向量与三角、不等式的整合，是高考命题的热点之一，它一般是根据向量的运算性质（如数量积）将向量特征转化为三角问题，三角问题是考查的主体，平面向量是载体.

平面向量的数量积是每年高考必考的内容，也是高考的热点之一，试题多以填空题形式出现，主要考查数量积的定义、运算律、性质，同时也考查向量平行、垂直及夹角、距离等问题.平面向量与解析几何、函数、三角函数等相结合的题目屡见不鲜，一些地区的高考试题将平面向量数量积与概率知识融合，命题新颖，也代表了一个考向.

例6在正六边形ABCDEF中，AB=1，AP=xAB+yAF，则x+y的取值范围是.

解法一：建立以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点，AE所在直线为y轴的直角坐标系.

设P（x，y），设AP=aAB+bAF=（a-b12，312b），

x=a-b12

y=312ba=3x+y13

b=213y，

设z=a+b=x+3y在坐标系里利用线性规划求解得范围是[1，4].

解法二：根据AP=xAB+yAF，把AP分解在AB和AF上，则根据相似关系，当P点在线段BF上时，x+y是定值，则画出与直线BF平行的直线在阴影部分区域中平移，每平移位置的x+y的值都是定值，且在增大，于是x+y的最小值是点P位于直线BF位置时，最大值是P点位于D点时.

解法三：AP=xAB+yAF，

则AP·AB=x-y12，AP·AF=-x12+y，

AP·（AB+AF）=x+y12，

AP·AD12=x+y12，

x+y=AP·AD=|AD||AP|cosα，

|AP|cosα的几何意义为AP在AD方向上的投影.

解法四：建立坐标系，以A为坐标原点，AD为y轴，

AB=（312，112），AF=（-312，112），

AP=（312x-312y，x+y12），即求P点的纵坐标的取值范围.

如图就可以得到x+y12∈[112，2]，所以x+y∈[1，4].

该题是向量和不等式结合的问题，从多个方向分析其思路，巧妙的建立坐标系解答，对本题帮助非常大.

例7在ABC中，若AB·BC13=BC·CA12=CA·AB11，则cosA的值为.

解法一：目标cosA=b2+c2-a212bc（*）

AB·BC13=BC·CA12=CA·AB11得a2+c2-b213=a2+b2-c212=b2+c2-a211=m，

a2+c2-b2=3m

a2+b2-c2=2m

b2+c2-a2=ma2=512m

b2=312m

c2=2m，代入到（*）中，得cosA=316.

解法二：建立以BC所在直线为x轴，以BC边上的高AO为y轴，则设A（0，a）B（b，0）C（c，0）.

AB=（b，-a），BC=（c-b，0），CA=（-c，a）代入到题目条件AB·BC13=BC·CA12=CA·AB11得113b·（c-b）=112（c-b）·c=-bc-a2

得b=-312c，a=1112c，

cosA=AB·AC1|AB|AC||=bc+a21a2+b2a2+c2=316.

解法三：记三角形ABC三边长为a，b，c

AB·BC13=BC·CA12=CA·AB11得accosB13=abcosC12=bccosA11，

两边同时除以abc得：cosB13b=cosC12c=cosA1a，

则：tanA=2tanC=3tanB（1）

在ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC，

将（1）代入上式得tanA=11，所以cosA=316.

解法四：AB·BC13=BC·CA12=CA·AB11

=BC·（AB+CA）15=CA·（BC+AB）13

=AB·（BC+CA）14，

记三角形ABC三边长为a，b，c，

则：a215=b213=c214，所以cosA=316.

分析：该题是向量和三角结合的问题，以三角为主题分析还是以向量为主题分析对该题的解题也有一定的影响.巧妙使二者结合才能使得解题清晰.

由于平面向量融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，因而成为联系数与形的重要纽带，容易与函数、三角函数、解析几何、数列、不等式等许多重要内容交汇综合，所以，倍受命题者的亲睐，是新高考的亮点.