多变量题的常见解法

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多变量题如果能利用题设的相关条件，应用整体思想换元，将多元问题转化成一元、二元问题，那么解题便可一气呵成.

例1 已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，cln b≥a+cln c，则的取值范围是 .

解 由已知条件可得5・

-3≤

≤4・

-1，

ln

≥

，

a>0，b>0，c>0.

令y=，x=，则=.于是上述不等式组转化为5x-3≤y≤4x-1，

ln

≥

，

x>0，y>0，即y≥5x-3，

y≤4x-1，

y≥x・e

，

x>0，y>0.

如右图，分别画出各不等式表示的可行域.函数y=x・e在[0，+∞）上的导数y′=e+x・e・（-）=e・.当0

由图可知，在直线y=5x-3与y=4x-1的交点处，y取最大值7.

综上可知，e≤y≤7，即的取值范围是[e，7].

抓住研究对象，利用题设消去参变量，将多元问题转化为熟悉的一元、二元问题，是多元问题的常规处理方法.

例2 设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为 .

解 由题意知1=a1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3.由q≥a2，要求q的最小值，只需求a2的最小值.而a2的最小值为1，所以有q≥1，

q2≥2，

q3≥3，可得q≥.

所以，q的最小值为.

利用表达式自身表示的特殊几何意义，数形结合求解.

例3 记F（x，y）=（x-y）2+（+）2（y≠0），则F（x，y）的最小值为 .

（解法1）从形式上讲，F（x，y）表示两点A（x，）和B（y，-）之间距离的平方.而点A（x，）是直线y=上的动点，点B（y，-）是曲线y=-上的动点.由导数知识和对称性数形结合，可知F（x，y）的最小值为.

当一个表达式中有多个变量无法消元时，我们可以将其中一个变量看成主元，其余变量看成常量逐步处理.

例3 （解法2）可以首先把F（x，y）中的x看成变量，y看成常量，知F（x，y）=+（-2y）x+y2+是关于x的二次函数，最小值为 f（y）=++.再把y看成变量，利用基本不等式求出F（x，y）的最小值为.

利用基本不等式求最值.

例4 已知点D是面积为1的ABC的边AB的中点，点E是边AC上的任意一点，连接DE，点F为线段DE上的一点，连接BF，设=λ1，=λ2，且λ1+λ2=，记BDF的面积为S= f（λ1，λ2），则S的最大值为 .

解 S= f（λ1，λ2）=λ1λ2≤（）2=，当且仅当λ1=λ2=时等号成立.

所以S的最大值为.

通过配凑完全平方式来解题.

例5 设a>b>c>0，则2a2++-10ac+25c2的最小值为 .

解 通过观察发现a2-10ac+25c2=（a-5c）2，而+=≥（）2=，故2a2++-10ac+25c2≥a2++（a-5c）2≥4+（a-5c）2≥4，当且仅当b=a-b，

a=5c，

a2=

，即a=，b=，c=时，所求的最小值为4.

（责任编校冯琪）