多变的正方体

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为了研究问题的方便和统一，在本文中所建立的正方体模型统一记为：正方体A1B1C1D1－A2B2C2D2，（画图时字母位置：A1B1C1D1在下，A2B2C2D2在上）简记为：正方体A1C2，且棱长为1.

需要特别说明的是：（1）正方体中A1B1C1D1－A2B2C2D2八个字母的标记是统一，每个问题及分析中涉及的字母不再相互统一，请勿混淆；（2）由于篇幅所限，本文中列举的问题均不再画出图形，也不再给出证明和计算结果，只给出问题的分析方法和解题思路.

一、点的问题

１．两点之间的距离

问题1：A1C2中.求：正方体中A1和C2两点之间的距离.

问题2：正方体A1C2中，将面B1C1C2B2以B1C1为轴向外侧翻转60°角：B2 B2′, C2 C2′.求：（1）A1和B2′两点之间的距离;（2）A1和C2′两点之间的距离.

分析：问题1是初等立体几何中最简单的“两点间的距离”问题；问题2是问题1的变形.这两个问题均可直接或间接使用距离公式ｄ=(ａ2+ｂ2+ｃ2)1/2解决问题.

２．共点（多点重合）

问题3：正方体A1C2中，连接线段A1C2 、B1D2 、C1A2和D1B2，四条线段的中点分别为O1、O2、O3、O4.求证：O1、O2、O3、O4四点重合.

问题4：正方体A1C2中，为了简洁，图中仅连线A1C1和A2C2作出平面A1C1C2A2.求证：平面A1C1C2A2、B1D1D2B2、A1B1C2D2、B1C1D2A2、C1D1A2B2 和A1D1C2B2六面交于一点.

分析：共点问题是初等立体几何中的难点之一.问题3需证明多条直线两两共面，且相交相互平分于一点，再证明两个以上的交点重合.问题4需证明：多个平面两两相交共线，再证明多条交线两两共面，相交且相互平分于一点，最终证明两个以上的交点重合.

３．多点共面

问题5：正方体A1C2中，四个侧面的对角线分别两两相交于O1、O2、O3、O4四点.证明：O1、O2、O3、O4四点共面.

分析：分别过四点中的任一点作一平面和底面平行，利用性质：两个相互平行的平面之间的距离处处相等，且四点在底面的同一侧，可证明所作四个平面重合，即四点共面.

二、线的问题

１．线的共点、共面

问题6：前面问题3中，证明四条直线A1C2 、B1D2 、C1A2和D1B2交于一点.

问题7：前面问题5中，任意连接O1、O2、O3、O4四点中的两点可得到多条直线.证明：所有直线共面.

分析：问题6、7分别是问题3、5的变形，证明方法相同.

２．异面直线的夹角、距离

问题8：正方体A1C2中.证明：异面直线A2C1和B1D1垂直.

分析：三垂线定理是初等立体几何中的一个重要定理，问题8是三垂线定理的简单应用.

问题9：正方体A1C2中.求：（1）异面直线A1B2和B1C2所成角的大小；（2）异面直线A1B2和B1C2之间的距离.

分析：（1）求异面直线所成角的大小，常规方法是：将一条直线m平移和另一条直线n相交共面，在一个平面内即可解决问题；（2）求解异面直线之间的距离，按照概念定义的方法很难直接找出两个垂足之间的连接线段的精确位置，更无法求解其长度.常规思路是：将一条直线m平移和另一条直线n相交构成平面a，可求解直线m到平面a的距离来代替.具体的作法是在直线m上选一合适点M和在平面上a选取的三个合适的点构成一个四面体，利用该四面体的体积V大小不变这一特性，巧妙转换“底”和“高”求解出“点M到平面a的距离”来代替异面直线之间的距离.

三、面的问题

１．平面的共点、共线

关于平面的共点、共线，前面列举的问题中已有涉及，如问题4：两个平面相交共线，两个以上平面的交线再共点，这里不再重复.

２．二面角

问题10：正方体A1C2中.求：平面B1D1A2 和B1D1C2所成二面角的大小.

分析：在棱B1D1上选一合适的点M，过点M分别在两个平面内作棱B1D1的垂线，两条垂线所成的角即是所求的二面角.合适点选取的方法通常有两种：（1）点M取棱所在“有限线段”的中点；（2）从二面角示图中“有限面”的一个顶点向棱做垂线，垂足记为点M.

３．四面体

问题11：见问题10，正方体A1C2中.求：四个顶点B1D1A2C2所构成的四面体的体积.

分析：观察图形，作合适的辅助线，在四点中选取一点为顶点向对应的平面作高，利用公式V=13Sh即可解决问题.