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引入数轴后,有理数就可以用数轴上的点表示,它是初中数学中联系数与形的第一座“桥梁”,使数与直线上的点建立了对应的关系.数轴在相反数、绝对值、有理数的大小比较等有着重要的应用.
一、利用数轴上的点表示有理数
利用数轴上的点可以表示有理数,其中用原点表示0,原点右边的点表示正数,原点左边的点表示负数.
例1用数轴上的点表示下列各数:
(1)-2.5 ,3,-1;
解: (1)如图1所示.
(2)如图2所示.
(3)如图3所示.
点评:用数轴上的点表示有理数,应注意根据数字的特征选取适当的单位长度.对于非整数点,描点时估计的位置要准确.
二、利用数轴比较有理数的大小
利用数轴上的点可以表示有理数,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的大,由此可以比较两个有理数的大小.
点评:利用数轴比较有理数的大小,比较直观.
三、利用数轴理解绝对值的意义
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,距离是一个非负数,所以有理数的绝对值是非负数,即a≥0.
例3已知a=3.5,求a.
分析:可以画出数轴.绝对值等于3.5的数可以理解为在数轴上到原点的距离是3.5的有理数,所以这样的数有两个.
解:a=±3.5.
点评:借助数轴来解决有关绝对值的问题比较直观,不容易出现漏解.
四、利用数轴理解相反数的意义
只有符号不同的两个数互为相反数,零的相反数是零.结合数轴,可以更直观地理解相反数的含义:在原点的两旁,并且与原点的距离相等.
例4写出绝对值不大于4的所有整数,这些整数中互为相反数的有哪些?
分析:解答本题时可画出数轴,使问题转化为在数轴上寻找与原点的距离不大于4个单位长度的所有整数点以及这些整数点中与原点距离相等的点.
解:如图5,绝对值不大于4的整数点有9个,它们分别是-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
其中-4与4,-3与3,-2与2,-1与1互为相反数,0的相反数是它本身.
点评:在数轴上,到原点距离相等的点有两个,这两个点所表示的数互为相反数.在数轴上,相反数位于原点两旁,并且与原点的距离相等.
五、利用数轴确定点移动后的位置
例5小强从A地向东走10米,然后折回向西走4米,又折回向东走8米,此时小强在A地的哪个方向上?距离是多少?
分析:先画出如图6所示的数轴,以A点为原点.借助数轴,把实际问题转化为数学问题.
解:以A点为原点作出如图6所示的数轴,观察数轴可知,小强走的路线是ABCD.我们可以把小强行走的过程想象为A点在数轴上移动的过程:A点向右移动10个单位长度,得到表示10的点B,接着向左移动4个单位长度,得到表示6的点C,由C点再向右移动8个单位长度,得到表示14的点D.所以,此时小强在A地的正东方向,距离A点14米.
点评:利用数轴可以更加直观地表示实际问题,轻松求解而不致出错.