书山有路勤为径
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摘要：数学的三种基本数学能力（逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力）之一的空间想象能力（所谓空间想象能力，就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思维的能力。）使很多到了高三的学生还感到犹豫和苦恼的，如何培养这项能力呢？在数学教学中，尤其是在立体几何教学中是很多学生所需求的。
关键词：数学；几何；数学教学；教师；学生；画图
中图分类号：G632.0 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）05-171-02
众所周知，为了更好的突出高考的选拔作用，现在数学试题的命题已强调了“以能力立意”，即从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考察倾向于理解和应用，特别是知识的综合性和灵活运用。这就表现在能否从题目的条件或结论中获得确切的信息；能否从记忆系统中提取与题目有关的信息；对从双方面提取的信息能否进行有机组合；组合能否条理化的整理形成解题的行动序列；在实施解题序列过程中，推理与运算能否顺利完成，种种表现概括为我们常说的四大能力——逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力和分析问题与解决问题的能力。
画图
学习立体几何首先就要对基本的几何图形必须非常熟悉，能正确画图，能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系及位置关系。所谓基本的几何图形是指在课本中的概念、定理、推论和例题以及部分练习中所出现的附图，特别是图中基本元素之间的度量关系及位置关系尤为重要。譬如：我们经常看到这样的条件“已知三个平面α、β、γ，其中αβ、βγ、γα…”那么图形该如何画呢？“墙角…”——我的学生会异口同声答道，这就是平常积累素材所达到的效果，但是仅仅积累不行，还要善于组合。因为想象并绘制正确的空间图形是学习和解答立体几何问题的基础。透过空间图形，把握各种几何元素（点、线、面、角度、距离）之间的内在联系，可以启迪思维，发现解题规律。我曾经在课堂上提过这样一道陈题——“有三个角是直角的空间四边形不一定是矩形，对吗？”虽然学生们都说对，但究其原因，有的说不出、有的说是猜的，理由是“空间四边形嘛！”——好一个空间四边形！德国数学教育理论专家栋科教授认为——思维着的教学活动决定着学习的质量。于是我开始帮助他们整理素材（借助教室）——“把教室中间的横梁看成几何线段a，与之相交的墙柱为线段b，则ab，接着找三位学生“表演”，学生甲站在墙柱边，学生乙站在教室的一个墙角处，则甲乙构成线段c，即a与c异面，最后请学生丙从学生甲处侧着走到学生乙处，在此过程中，让其左臂侧平举保持与c重合，右臂前臂举以成直角，眼睛始终望着横梁的另一端点，当这一点与右臂共线时即停。”此时，我请全班同学看好这一时刻构成的空间四边形，大家倍感兴奋，都想重温一次，而我则提出问题：此图中由哪几个基本图形组合的呢？话音刚落，学生丙就答道——是由异面直线上两点间距离的附图与三垂线定理的附图合成的。
变图
所谓变图是指遇到有关客观世界中实际物体的问题时，我们可以撇开抽象的空间图形所代表实际物体的那些物理性质、化学性质等，而只研究它们的几何性质，即变客观世界在实际物体为数学中的几何图形。由于空间图形的抽象性，一个图形可以是许多实际物体的抽象形式，而且有时还可以不必画出其全貌，只要画出图形的骨架就能体现图形的本质特征，这样可以删繁就简，排除干扰，使图形简明清晰，利于解决问题。在数学史上，“蜂房问题”曾吸引了许多人的关注。为了贮存蜂蜜和养育后代，一群蜜蜂可以在一昼夜间就能盖起成千上万间精致的蜂房。这一点引起了不少数学家的兴趣，他们通过变图，发现每一间蜂房都是一个六角形柱状体，它的一端有一个平整的六角形开口，另一端则是闭合的六角棱锥形的底。因为铺满整个平面区域的正多边形一共只有三种，即正三角形、正方形和正六边形，而使用同样的材料，正六边形比正三角形和正方形具有更大的面积，由此解决了蜂房的奇妙结构。与此同时，科学家们又通过变图发现，蜂巢的底是由三个大小完全相同的菱形蜡板彼此毗邻相接所拼成。公元1743年，苏格兰著名数学家马克劳林利用初等几何方法论证出此菱形的钝角是，锐角是，且是最省材料的。这一点与法国自然科学家马拉尔蒂测量出来的结果完全吻合，但后者却不能得出缘由。正因为数学家们的卓越论证，使人们了解了蜜蜂的“建筑艺术”，使建筑师们设计出许多质轻、耐用、隔音、隔热的“蜂窝结构”，而这一切首先应当归功于数学家们的成功变图。变图不仅如此，还能加深我们对概念的理解。例如，教材中关于二面角的阐述。开始利用人造卫星轨道平面与赤道平面的关系引入，产生兴趣，但并不易观察，通过讲解定义后，又引入了一个木工用活动角尺测量了一个有关登山的问题，调动大家的思路，并且画出一个实物图与几何图交合在一起的附图，让学生看的更加贴切，对二面角的概念也就印象深刻，故多看看书是非常必要的。
用图
所谓用图是指利用图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系。掌握这一点，首先就要能读懂几何语言。在教学实践中发现，不少学生不善于对数学语言的多种形式进行转换，尤其是对抽象的符号语言，常常有意回避，造成表达死板、思维僵化的恶果。去年我有幸参加了市教研室组织的高中学业水平测试的阅卷工作，批改的正是解答题中的一道几何题。在阅卷中，我深切的体会到，有很多学生虽然了解题意，但就是讲不清。譬如第一小题需证明两个三角形全等，仅仅一个“”符号，难倒了无数“好汉”！有的用汉字“全等”、有的用“～”、有的干脆空着，好像在说——“就是那个意思嘛！”、还有的大概急了，竟用“”（化学里反应式中的符号），细细一看，倒有几分联想！实际上，几何语言的运用一般都在教材中提到的。引导学生学好课本中精湛的数学语言，对课本中的概念、定理认真辨析，甚至咬文嚼字，有利于学生数学语言的基本功的形成。我曾在高中水平测试复习中布置了这样的一份作业——把《必修2》中第二章所有的定理、推论，先用几何语言表示出来，再画出与之对应的图形，最后把所有有关作图的语句摘录下来。当做完这份作业的同学都感到几何语言从未有过的亲切。因为只有了解几何语言，才能读懂几何语言，最后才能运用几何语言。下面请看这样一道题：有不共面的三条互相平行的直线a，b，c，过a做平面α，使得b、c到α的距离相等，则这样的平面有（）个。
A、1个B、2个 C、4个 D、无数个
此题，很多学生回答A或D。大概是受很多类似问题的影响，不是“一个”就是“无数个”。实际上是没读懂题意，准确的说，是没画出图形。不共面的三条平行线好画，画三棱柱的三条侧棱就可以了，但再画一个平面具备后面的条件，并且究其个数就比较麻烦。事实上，只要联想到立体几何中的“点——线——面”三者的关系，及时准确的“降维”就可以解决问题，即等价于“平面内有不共线的三个点A、B、C，过A做一条直线l，使得B、C到l的距离相等的直线有多少条”，于是图形就好画了。也可以说是俯视刚才的三棱柱吧。
四、识图
所谓识图就是指从复杂的图形中能区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关系。例如，有这样一道题：截面图形是下图中的（ ）
在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触上，过棱锥的一条侧棱和高做截面，正确的
本题主要是考察空间图形的组合以及空间想象能力。只要对多面体与旋转体的性质稍加熟悉，考虑周密，即能正确作答。球是旋转体，有旋转轴；正三棱锥是特殊的多面体，正三棱锥的三个侧面与底面的高所成角均相等，且三个侧面为全等的正三角形，故钢球放入容器内，球心必在这条高上，观察选项，即排除C和D；又截面是过棱锥的一条侧棱和高，故球的轴截面不可能与截面三角形的三条边都相切，即排除A，得出正确的答案。
会画图是学习立体几何的基本要求，画好图还要让人看的懂就更为重要。画家肯定是将自己感到满意的作品向人展示的。所以当能够用图形表示题目的条件信息时，也应该会从图中读出题目的条件信息，即“会画图也会识图”。这一点不仅仅在立体几何中要求做到，就连函数中也要具备。
综合上述四点，空间想象能力的培养犹如作家的写作修养，在于平常积累素材，开动脑筋，放开视野，多看看、多听听、多想想、多问问，当然更主要的是多画画，正所谓“书山有路勤为径”！