一道不等式证明题的后续

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题目

已知m＞0，a，b∈R，求证：a+mb1+m2≤a2+mb21+m．

证

明

因为m＞0，所以1+m＞0，所以要证a+mb1+m2≤a2+mb21+m，即证（a+mb）2≤（1+m）（a2+mb2），即证m（a2-2ab+b2）≥0，即证（a-b）2≥0，而（a-b）2≥0显然成立，故a+mb1+m2≤a2+mb21+m．

注

析

不等式形式虽较繁琐，但作为一个证明题，是较容易证明的.从上述证法中，我们可以发现当且仅当a=b时，不等式取等，两边统一为一个平方数a2．以下，我们考虑此不等式的实际意义.

考虑函数f（x）=x2，则a+mb1+m2=fa+mb1+m，a2+mb21+m=f(a)+mf(b)1+m，故原不等式即fa+mb1+m≤f(a)+mf(b)1+m．

如图1，设A（a， 0），B（b， 0），a＜b，则C（a，a2），D（b， b2）．容易判断a＜a+mb1+m＜b，而直线CD的方程为y=b2-a2b-a（x-a）+a2，即y=（a+b）x-ab，当x=a+mb1+m时，y=a2+mb21+m．由图（点G恒在点F上方）易知fa+mb1+m＜f(a)+mf(b)1+m．

图1

解答过程：圆C的普通方程为x2+y2=4，直线l的参数方程为y=tan θ・(x-4)．由直线l与圆C有公共点，有圆C的圆心(0,0)到直线l的距离d=4tan θ1+tan2θ≤2，故-33≤tan θ≤33，又θ为倾斜角，故θ∈0,π6∪5π6,π．

可见，不等式成立的几何意义是，函数f（x）=x2图象上任两点间的图象在这两点连线的下方.特别地，当m=1时，原不等式即a+b22≤a2+b22，改成函数值形式即fa+b2≤f(a)+f(b)2．

此形式在课本中不止一次出现过.比如：对任意的x1，x2∈R，若函数f（x）=2x，试比较f(x1)+f(x2)2与fx1+x22的大小关系.

换个角度看，设Ea+mb1+m,0，Ga+mb1+m，a2+mb21+m，则有点E分线段AB的比值为m，点G分线段CD的比值也为m．从而无需求直线CD的方程也可判断不等式的正确性.由此，试题的命制建立在定比分点的坐标公式和函数的“凸凹”性上.

注

析

在定比分点的坐标公式中，将比值的具体值模糊化，只要x=λα+μβ（λ+μ=1），就可判断x在（α，β）内.由λ，μ的不确定性，只知左边是区间（α，β）内的两个函数值的差，不易求值，可见结果的取得需要经历合理的猜想及必要的计算.而过程显示，题中函数的极值差与极值点的差的绝对值相等，美妙的结果（如图5）.

图5

对试题解决过后的再思考，或许会将我们引领到更为广阔的天地中去.放手去做，放心去翔，驰骋于思维的练兵场，收获是斐然的.