一道几何题添加多种辅助线教学的做法体会
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇一道几何题添加多种辅助线教学的做法体会范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
摘 要： 从不同角度，用不同方法添加辅助线，对提高学生解题功能，巩固灵活运用所学知识，养成“多思”“善思”的良好习惯起积极作用。
关键词： 解题能力； 培养； 辅助线
中图分类号： G424.1 文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2012）（11-12）-0099-02
一、用补短法添加辅助线，引导学生多思、善思
例如我在学生学完九年级第三章“圆”之后的复习教学中，为了加强“圆”与“全等三角形”相关知识的综合运用，在引导学生总结课本上的常见巧作辅助线方法之后，利用添加辅助线习题教学，引导学生添加不同的辅助线，启发学生的思维，激发学生学习兴趣，并重视培养学生养成多思善思的良好习惯。
例1、已知：P点是内接ABC外接圆BC弧上任意一点，连接PB、PA、PC，如右图；求证：PA=PB+PC
此类题，是圆中证明不在同一条直线上的三条线段的数量关系相等问题，学生从未见过，无从下手，而学生对如何证明两条线段相等问题又司空见惯。
因此，如何将“证明三条线段的数量关系相等问题”转化成“证明两条线段相等问题”来解决，是证明的关键，也是问题的突破口，即让学生如何自然悟出并想到要做辅助线，来实现其转化，是教学难点之一。
难点之二，是如何作辅助线？即添加的辅助线构造出欲证的两条相等线段（或相等的替代线段）所在的两个三角形全等。也就是解决怎样思考做辅助线的问题。
为此，我在教学中的做法是：
（一）设问讨论引导学生思考以下问题
1.该题求证：PA=PB+PC 请问：题目欲证明线段PA等于两线段PB与PC的和。那么如何在PB（或PC）上作两已知线段PB与PC的和？并说出做法？
2.讨论：若延长BP至N，使PN=PC.如图1，则BN=PB+PC，试问，题目欲证PA=PB+PC.是否可“转化”为证明PA=BN即可？为什么？
3.启发观察探索：要证明PA=BN，那么以PA、BN分别为边所在的两个三角形APC与BNC，你能用已学过的“圆”和“全等三角形”有关知识证明其全等吗？（学生会自动连接CN，并进行积极思考，教师根据情况可适当点拨，并在整理证明思路之后进行探索小结。）
经过学生思考讨论以上问题，师生共同归纳整理其证明过程如下：
证明：延长BP至N，使PN=PC，连结CN，如图1
PN=PC（已作），
又 ∠1=∠BAC=60°（圆内接四边形的外角等于它的内对角）
PNC是正三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
PC=CN
在APC和BNC中，AC=BC（已知）
又 ∠ACP=∠BCN=60°+∠2
PC=CN（已证）
APC≌BNC（SAS）
PA=BN（全等三角形对应边相等）
又 BN=PB+PN
PN=PC（已作）
BN=PB+PC
PA=BN=PB+PC （即证）
（二）继续设问讨论
1.前面，我们已讨论了在PB或PC上，如何做两已知线段PB与PC的和。你总结出能有几种不同的作法吗？请结合图1，作出你的不同作法？
2.你由这几种不同的作法。还能想到此题的其它添加辅助线的证明方法吗？说出你的证法？（只让学生作图思考，说出辅助线的作法和简要的证题思路，不要求书写证明过程）
经过启发、引导、分析讨论、归纳、点评学生给出的其它3种不同添加辅助线的简要证法。
证法一：如图2延长PC至N，使CN=PB。连结AN，易证ABP≌ACN（SAS）
PA=AN
又 ∠1=∠2=60°
APN是正三角形
PA=PN
又 CN=PB（已作）
PA=PN=CN+PC=PB+PC（即证）
证法二：如图3 延长PB至N，使BN=PC
连接AN。 易证ANB≌APC（SAS）
PA=AN
又 ∠1=∠2=60°
ANP是正三角形
PN=PA
又 BN=PC（已作）
PA=PN=PB+BN=PB+PC（即证）
证法三：如图4，延长CP至N，使PN=PB，连接BN
∠1=∠BAC=60°
BNP是正三角形
又 ∠ABP=∠CBN=60°+∠2
易证ABP≌CBN（SAS）
PA=NC
PN=PB（已作）
PA=NC=PN+PC=PB+PC（即证）
（三）再次启发讨论
1.如图5，如果延长BP至N，使BN=PA，连结CN。
题目欲证：PA=PB+PC……⑴
而BN=PB+PN……⑵
观察（1）、（2）两等式，由做法知PA=BN，那么此题证明又“转化”为证哪两条线段相等？（学生会自然答出转化为证PC=PN）。
2.教师启发
（1）根据上题证明经验，你能证明出PC=PN吗？怎么证？并说出你用此种方法证题的整体简要思路？（2）借鉴此种证法，你还有其它思路吗？
经过启发引导，分组讨论，归纳、点评。学生又给出的几种不同添加辅助线的简要证法：
法一、如图5，延长BP至N，使BN=PA，
易证APC≌BNC（SAS）
PC=CN
易证PNC是正三角形
PN=PC
PA=BN=PB+PN=PB+PC（即证）
法二：如图6，延长PB至N，
使PN=PA，连结NA，
易证ANP是正三角形，
AN=PA
∠1=∠2=60°-∠3
易证ANB≌APC（SAS）
NB=PC，
PA=PN=PB+NB=PB+PC（即证）
二、用截长法添辅助线，引导学生多思善思
例2：（仍以上题例1为例）如图7
设问引导学生思考以下问题
1.欲证 PA=PB+PC
即证PA-PB=PC 或证 PA-PC=PB即可。
思考：要证明PA-PB=PC；如何在PA上做两条已知线段PA与PB的差？且有几种做法？
2.讨论：若在PA上截取AN=PB，则PN=PA-PB，而由①知，要欲证PA-PB=PC ，是否可“转化”为证明PC=PN即可？若连接NC，你能说出此题的证题思路吗？此题还有其它思路吗？
经过引导学生观察，分析讨论，整理归纳、点评学生给出的几种不同证法。
法一：如图7 在PA上截取AN=PB，连结NC，易证ANC≌BPC（SAS）
NC=PC
易证NPC是正三角形
NP=PC
PA=AN+NP=PB+PC（即证）
法二：如图8，在PA上截取PN=PB，连结BN，易证PBN是正三角形
BN=PB
易知：∠1=∠2=60°-∠3
易证ABN≌CBP（SAS）
AN=PC
PA=PN+AN=PB+PC（即证）
法三：如图9，在PA上截取AN=PC，
连结BN
易证ABN≌CBP（SAS）
BN=PB
易证BPN是正三角形
PN=PB
PA=PN+AN=PB+PC（即证）
综上所述，该题的证明。教师分别用补短法和截长法，引导学生添加不同辅助线。学生课堂学习积极性很高，讨论问题思维活跃。既复习巩固了圆和全等三角形有关知识，又提高了综合运用知识的能力，还掌握了该题添加辅助线的思考思路和方法。通过添加不同辅助线习题教学，极大的提高了学生学习数学的兴趣，并对培养学生养成多思、善思的良好习惯起到了积极的作用。
参考文献：
[1] 中学数学习题教学研究[M].北京师范学院出版社.