爱因斯坦巧用相似证明勾股定理

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学过几何的人都知道勾股定理(在西方又叫毕达哥拉斯定理)．它是几何中一个重要的定理，应用十分广泛． 迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种，成为世界上证明方法最多的定理之一． 像三国时期的数学家赵爽、古希腊数学家欧几里得、美国第20任总统加菲尔德、画家达?芬奇、伟大的物理学家爱因斯坦等，都用各自的方法证明了勾股定理． 爱因斯坦12岁时，在未学过平面几何的情况下，根据三角形的相似特性(两直角三角形的相似，完全取决于它们的一个锐角，如果有一锐角相等，二者相似；否则，不相似)，独立地给出了毕达哥拉斯定理的一个证法，为此，他长时间地激动！这虽然仅涉及一个非常古老的著名定理，他却经历了发现者首次的快乐． 而且这一证法是毕达哥拉斯定理中最简单和最好的证法，证法如下.

已知：如图1，在RtABC中，∠ACB=90°．

求证：AC 2+BC 2=AB 2．

证明：过C作CDAB于D．

CDAB，∠ADC=∠BDC=90°．

∠ACB=90°，∠ADC=∠ACB．

又∠A=∠A，ACD∽ABC．

=，得AC 2=AD?AB． 同理BC 2=BD?AB．

AC 2+BC 2=AD?AB+BD?AB=(AD+BD)?AB=AB 2．

爱因斯坦之所以在12岁时完成了常人无法达到的成果，是由于他天赋的好奇心、敏锐的理性思维、刻苦的钻研精神以及启蒙者对他的谆谆教导． 虽然在公元前欧几里得的《几何原本》中，已经有了这种证法，但12岁的爱因斯坦证明出毕达哥拉斯定理，却是常人很难达到的成就．

需要说明的是，爱因斯坦的证明方法用到了“相似三角形的对应边的比相等”，其实也可应用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”证明． 即由ACD∽ABC得=．同理=．

+=+===1．

AC2+BC2=AB2． 这种证法也十分简捷．

为了开拓同学们的视野，下面再介绍两种利用相似证明勾股定理的方法：

证法1 如图2，延长CA至D，使AD=AC，延长CB至E，使BE=BC． 连接DE，过点A作AMDE，过点B作BNDE，垂足分别为M、N．

易证ABC∽DAM． =，即AC?AD=DM?AB．

而AD=AC， AC2=DM?AB．

同理BC2=EN?AB．

而AB为CDE的中位线，四边形ABNM为矩形，

DE=DM+EN+MN=DM+EN+AB=2AB， DM+EN=AB．

AC2+BC2=DM?AB+EN?AB=(DM+EN)?AB=AB2．

说明：上述证法是美国权威杂志《数学教师》上面的证法．

证法2 如图3，分别过点A、B作BC、AC的平行线，相交于点D．

易证四边形ACBD为矩形．

于是AC=BD，AD=BC，∠BCD=∠ABC=∠ADC=∠BAD．

过点C在∠ACB内部作∠ACE=∠BCD．

又∠ACB=∠CBD=90°，ACE∽DCB．

=，即AC?BD=AE?CD．①

而∠BEC=∠BAC+∠ACE=∠BAC+∠BAD=∠CAD．

BEC∽ADB． =，即AD?BC=BE?AB．②

① 、 ②两边分别相加，得AC?BD+AD?BC=AE?CD+BE?AB．

即AC2+BC2=AE?AB+BE?AB=AB(AE+BE)=AB2．