小诗有味似连珠

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数列是特殊的函数，它既具有函数的性质，有具有自身的特性，这无疑对教师的教学和学生的学习提供了广阔的思考空间，本文试图通过对一道小题的剖析来展示数列试题解法的多样性、灵活性和统一性，与读者共同体会“小诗有味似连珠”的感觉。

例：已知数列为等差数列，，试问数列的前几项和最大？

分析：1、罗列已知条件和结论：

通过审题可得已知条件共有3个：

①数列为等差数列；

②；

③.

结论：数列的前几项和最大？

2、对已知条件和结论进行“前思”：

对“①数列为等差数列”的思考：

Ⅰ、根据等差数列的基本量可设的公差为d；

Ⅱ、的通项公式为：，前n项和公式为：；

Ⅲ、对通项公式与求和公式从函数的角度进行理解：，其图象为位于一条直线上的一些孤立的点。（其中直线的斜率为 d）

，其图象为位于一条抛物线上的一些孤立的点。（其中该抛物线过原点，且开口方向有d决定）

Ⅳ、熟知等差数列的一些简单性质，如：1?：；

2?：若，则等等。

对于条件②则比较简单，暂且搁下。

对“③”的思考：

Ⅰ、通过基本量布列方程，即：，

Ⅱ、

对结论“数列的前几项和最大？”的思考：

Ⅰ、从宏观的角度思考：将看成关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法来解决。

Ⅱ、从微观的角度思考：，最大.

Ⅲ、从图象的角度思考：因为，可将看成关于n的二次函数，故可以利用二次函数的图象直接得出结论。

3、对已知条件和结论进行“揉思”：

“组合即创造”，对前思的成果进行恰当的组合，可以产生精彩的、意想不到的解法。

解法1、从宏观的角度与基本量的角度进行思考：

，

，显然对称轴为n=7，抛物线的开口向下，当n=7时有最大值。

解法2、从微观的角度与基本量的角度进行思考：最大，即，将代入可得：，， n=7，当n=7时有最大值。

解法3、从微观的角度与基本量的角度进行思考：

，即，，，，当n=7时有最大值。

解法4、从微观的角度与等差数列性质的角度进行思考：

，由等差数列的性质可知：，，，，，当n=7时有最大值。

解法5、从图形的角度进行思考：

根据题意可以作出关于n的二次函数图象如右图：，由二次函数的对称性可知该函数的对称轴方程为n=7， 当n=7时有最大值。

4、解题后的反思：

Ⅰ、在解题过程中善于从不同的角度对已知条件和结论进行全方位的、充分的思考，而这恰恰是灵活性的本质。

从条件和结论的差异入手，盯住目标，逐步缩小差距，直至问题解决。这就是所谓的差异分析法。

Ⅱ、对数列中基本量和性质两者关系的思考：从以上解题的过程来看两者首先是统一的，其次也应该清楚地认识到性质解题的本质是基本量之间存在着内在联系，故要对性质有深刻的认识，可以从挖掘基本量之间的内在联系出发。再次在解题中尽量培养简单性质应用的意识，使解题更加方便、快捷。总之：用基本量解题和用性质解题是相辅相成的，通过对两者内在联系的研究可加深对它们的理解，使两种解法浑然一体。

Ⅲ、解法1和解法5均从函数的角度加以思考，揭示了数列与函数的内在联系，与题目本身的跨度较大，解法1可以看成解法5的代数推导，解法5可以理解为解法1的几何解释，数与形得到完美的结合，两者相辅相成，相得益彰，令人回味无穷。

通过以上分析可得如下的解题经验：

解题不仅知其然，而且知其所以然；

尽可能一题多解，而且使各种方法之间有较大的跨度，以拓展思考的空间，培养学生的发散性思维能力和创新能力。

在一题多解的基础上进行归纳总结，寻找各种解法之间的内在联系和共同特征（可能是思想上的，也可能是步骤上的等），使各种解法融会贯通，做到多解归一，统一在一个最本质最简捷最透彻的方法上。

思考题：

你能用几种方法解答下列两题：

等差数列中，，求的值。

设等差数列的前n项的和为，已知①求公差d的取值范围；②指出中哪一个值最大，并说明理由。