解三角形问题的解题策略

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我们在解决三角形问题时，常常采用一定的策略进行解答，让我们不妨一起走进解三角形.

策略一：将一般三角形转化为直角三角形

例1 在ABC中，已知tanB=12，tanC=-2，且三角形的面积为1，求ABC的边长.

分析：考虑到已知条件中角B与角C的正切值，将其放到三角形中处理比较方便，同时联系相关的条件中，已知三角形的面积，则可以想到作出BC边上的高，将钝角三角形转化为直角三角形的问题.

解：过A作ADBC，交BC的延长线于D（如图），设AD=2h，在RtACD中，

tanC=-2，则tan∠ACD=2，CD=h，AC=5h.

在RtACD中，tanB=12，则BD=4h，AB=25h，则BC=BD-CD=3h，

ABC的面积为1，则12×3h×2h=1，则h=33，则BC=3，AC=153，AB=2153.

点评：实际上直角三角形形状简单，它具备一般三角形所满足的边角关系，同时还具有一些特殊的性质，所以将一般三角形问题可转化为直角三角形来解决.

策略二：利用正余弦定理将边角相互转化

例2 在ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和cb=12+3，求A和tanB的值.

分析：先由余弦定理求出一个内角，再由正弦定理进行边角转化.

解：由余弦定理得到cosA=b2+c2-a22bc=12，因此A=60°，由b2+c2-bc=a2，得到

（ab）2=1+（cb）2-cb=1+14+3+3-12-3=154，所以ab=152（1）

由正弦定理得到sinB=basinA=215×32=15，由（1）得到a>b，故B

cosB=1-sin2B=25，tanB=sinBcosB=12.

点评：本题主要运用余弦定理，正弦定理与两角差的正弦公式，同角三角函数的关系式等基础知识.实际上在一个有关三角形问题中，若含有角也含有边，则一种办法是统一化为角之间的关系，二是可统一化为边之间的关系.

策略三：结合分类讨论的数学思想

例3 在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，求证：acosB+bcosA=c.

分析：本题需要对点D的位置进行分类讨论，解题过程中的分类讨论一般分为四个步骤：第一确定讨论对象及所讨论的对象的范围；第二步是确定分类标准，进行合理分类；第三步骤是逐类讨论，分级进行讨论；第四步骤是进行归纳并得出结论.

解：如图1所示，过C作CDAB，垂足为D，

图（1）中当D在AB上时，bcosA+acosB=AD+BD=c；

图（2）中当D在BA（或AB）的延长线上时，bcosA+acosB=bcos（π-∠CAD）+acosB=-AD+BD=AB=c；

图（3）中，当D与A（或B）重合时，显然成立.综上，acosB+bcosA=c成立.

点评：本题考查余弦定理与诱导公式的综合应用.

策略四：结合方程的数学思想

例4 已知ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B，1cosA+1cosC=-2cosB，求cosA-C2的值.

分析：本题考查正弦定理与和差化积以及方程的综合应用，先利用题设条件得出B=60°，A+C=120°，再利用和差化积、积化和差和倍角公式将题设等式1cosA+1cosC=-2cosB逐步恒等变形为一个以cosA-C2为未知数的一元二次方程，通过解方程得到两个根，根据题意去掉负根，即得到所求.

解：由A+B=C=180°，A+C=2B，得到B=60°，A+C=120°，

则由已知得到1cosA+1cosC=-2cosB=-2cos60°=-22，

即cosA+cosC=-22cosAcosC，则2cosA+C2cosA-C2=-2[cos（A+C）+cos（A-C）]，

将cosA+C2=cos60°=12，cos（A+C）=cos120°=-12代入上式，

得到cosA-C2=22-2cos（A-C）

=22-2（2cos2A-C2-1），

即42cos2A-C2+2cosA-C2-32=0，

（2cosA-C2-2）（22cosA-C2+3）=0，

则得到cosA-C2=22.

点评：利用正弦定理并合理应用方程的思想求出cosA-C2的值.

（作者：周文国，张家港职业教育中心校）