基于导数解数学问题的思维策略
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摘 要: 本文通过对导数在研究函数的单调性、极值,以及函数不等式中的应用进行分析,拓展了数学解题方法的研究领域,开辟了许多新的解题途径,加深了学生对函数及其性质的理解和直观认识。文中还提出了利用导数解数学问题可以采用创造性思维、联想思维及化归思维等几个主要的思维策略。
关键词: 导数 单调函数 不等式 思维策略
在数学教学中,教师充分利用导数解决数学问题,可以加强对学生的辩证思维教育,使学生能以导数为工具研究函数的变化率,为解决函数极值问题提供更有效的途径、更简洁的手段,加深对函数及其性质的理解和直观认识。因此,如何培养学生在解决数学问题时能充分运用导数的思维能力是导数教学的核心。我首先通过一些具体的实例来说明导数在解决数学问题中的巧妙应用,然后在此基础上提出了利用导数解数学问题的几个主要思维策略。
一、导数在数学解题中的一些应用
1.导数在研究函数单调性中的应用。
例1:求函数f(x)=xe的单调区间,其中a∈R。
注意到f(x)中含有超越函数e,并且参数a是未知的。因此,如果仅仅利用函数的定义,该问题很难解决。下面利用导数的方法,就使得该问题变得十分简单。
解:简单计算可知f(x)的导数为f′(x)=2xe+axe=(2x+ax)e。
(1)当a=0时,若x0。另外注意到f(x)在x=0点连续,所以当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数。
(2)当a>0时,由2x+ax>0,解得x
(3)当a0,解得0
本问题通过巧妙地利用导数与函数单调性的关性,并结合分类讨论思想把复杂的问题转化为较易解决的问题,从而更直观地发掘问题的本质。
2.导数在研究函数极值中的应用。
例2:已知函数f(x)=ax+bx-3x在x=1和x=-1处取得极值,讨论f(1)与f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值。
如果只把思维限于极值的定义及证明方法的小范围内,那么解决该问题就有一定的困难。但是如果充分利用函数的导数与函数极值的关系,则该问题就会变得比较容易。
解:注意到f′(x)=3ax+2bx-3,则由依题意可知,f′(1)=f′(-1)=0,
即3a+2b-3=03a-2b-3=0
解得a=1,b=0。
进而得f′(x)=3x-3=3(x+1)(x-1)。
令f′(x)=0,得x=1或x=-1。若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则f′(x)>0,进而得f(x)在区间(-∞,-1)∪(1,+∞)上是增函数。若x∈(-1,1)则f′(x)
题目所给的函数是一个三次函数,而用极值的定义与判断三次函数的极值问题往往难以解决。这里我们通过引入导数,使得题目变得比较容易解决。
3.导数在研究函数不等式中的应用。
函数不等式的证明方法很多,比如作差法、作商法、综合分析法及数形结合法等。但有些不等式利用这些经典的方法难以解决,或者证明起来比较繁琐。此时,如果巧妙地利用导数法,将会使问题变得十分简单。
例3:已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xln(x)。求证:当0
证:由g(x)=xln(x)可知g′(x)=ln(x)+1
令F(x)=g(a)+g(x)-2g(),则有F′(x)=g′(x)-2[g()]′=lnx-ln。因此,当00,进而可得F(x)在(a,+∞)内为增函数。综上可知,当x=a时,F(x)有极小值F(a)。
另外注意到F(a)=0,b>a,F(b)>0,即有0
再令G(x)=F(x)-(x-a)ln2,
则G′(x)=ln(x)-ln(a+x)。
因此,当x>0时G′(x)a,所以有G(b)
本题把函数导数与不等式融为一体,通过巧妙地构造辅助函数,并结合导数、函数的极值与单调性,使得该不等式证明起来比较简便,而且思路清晰。
从以上分析可以看出导数在数学解题中有着重要的作用。在利用导数解决不同类型的数学问题时,尽管所用的思路不完全相同,但是有一个共同的特点,即在待解决的数学问题与导数及其性质之间架起一个联系的纽带。因此,学生在掌握基本知识的同时,更要注重解题思维能力的培养和提高。下面针对导数在数学解题中的应用,给出一些解题思维策略。
1.培养观察力,注重创造性思维方法。
观察是思维的触角,是发现问题、引发思维的重要途径。没有观察就没有发现,更谈不上创造。所以,在解题过程中要有目的、持久地进行观察力的培养。敏锐的观察力才是巧妙解题的基本。
2.培养想象力,注重联想思维方法。
充分的想象有助于揭示某些被掩盖的特征,使思维产生联动性,从而发现问题的结论与条件之间的关系。所以为了能充分地运用导数解决数学问题,首先要把想象力激活起来,实现认识能力的飞跃和突破。
3.培养类比模拟思维,注重探索性思维。
类比是依据两个或两类问题之间存在的某些相同或相似的特征,推出其他相同或相似的特征的思维方法。因此,在利用导数解数学问题时,首先要利用探索性的思维方法,找到导数与所解问题的相似或相同之处,从偶然发现的关系中剥离出解决问题的核心。
4.培养发散思维能力,注重发散性思维。
在解决数学问题时,只有充分利用发散思维,使思维不拘泥于一个途径、一种方法,而是从各种可能的设想出发,才能有效地找出导数与所解问题的关系。加强发散思维能力的培养,是利用导数解数学问题的重要环节。
5培养转化思维能力,注重化归思维。
通过转化思维,我们可以把一些比较复杂的数学问题转化为导数问题,使问题变得相对简单、清晰。在进行数学解题时要多层次、多方位地进行思考,进而打破传统程序,摆脱思维定势的束缚,才能有效地找到需求解问题与导数的关系,进而把复杂的数学问题转化为导数问题。
三、结语
加强思维方法的培养是巧妙利用导数解题的关键。因此,在求解数学问题过程中,培养数学的思维能力尤为重要。我通过对导数在不同类型数学问题中的应用进行分析,提出了一些利用导数解数学问题的思维策略。总之,我认为培养学生的思维能力是利用导数解数学问题的核心,也是数学教学的出发点和归宿点。
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基金项目:本文由广西自然科学基金(2010GXNXSFB 013051),河池学院研究生科研启动基金(2008QS-N014),以及河池学院应用数学重点建设项目(院科研)[2007]2号)资助。
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