突破解析几何解答题这些地方容易错

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一、解答直线与圆锥曲线的位置关系问题时忽视判别式而致误

例1 已知椭圆C： + =1（a>b>0）的短轴长为2，离心率为 .过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）求 ・ 的取值范围;

（Ⅲ）若点B关于x轴的对称点是点N，证明：直线AN恒过一定点.

难度系数 0.65

错解 （Ⅰ）据题意易知b=1，e= = ，于是有a2=2c2=2a2-2b2，解得a2=2.

故椭圆C的方程为 +y2=1.

（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-2）.将上述直线方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0.

设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则有x1+x2= ，x1x2= .所以 ・ =x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1-2）（x2-2）=（1+k2）x1x2-2k2（x1+x2）+4k2= =5- .

由于k2≥0，进而有-2≤5- <5，所以 ・ 的取值范围是[-2，5）.

（Ⅲ）学生不能求出直线所过的定点.

错因 上述错解在解答过程中忽视判别式Δ>0.

正解 （Ⅰ）同错解.

（Ⅱ）以上解答同错解.

由Δ>0，得0≤k2< ，进而有 < ≤7，所以 ・ 的取值范围是[-2， ）.

（Ⅲ）由对称性可知点N的坐标为（x2，-y2），定点在x轴上.于是可知直线AN的方程为y-y1= （x-x1）.令y =0，得x=x1- = = = =1，故直线l过定点（1，0）.

二、不能掌握求曲线过定点的方法而致误

例2 已知椭圆C： + =1（a>b>0）的两个焦点在x轴上，且两个焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形.

（Ⅰ）求椭圆的方程.

（Ⅱ）过点S（0，- ）的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

难度系数 0.65

错解 （Ⅰ）由椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，可知b=c.又斜边长为2，即2c=2，所以a= c= .故椭圆的方程为 +y2=1.

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx- ，点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2）.

由y=kx- ，x2+2y2-2=0，得（9+18k2）x2-12kx-16=0.根据Δ=144k2+64（9+18k2）>0，来求以AB为直径的圆的方程，此后解题进入复杂的运算而不能正确求解.

错因 直接求以AB为直径的圆的方程，运算量较大，不但浪费较长的时间，也容易出现错误.

正解 （Ⅰ）同错解.

（Ⅱ）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2+（y+ ）2= ;当直线l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1.

由x2+（y+ ）2= ，x2+y2=1，得x=0，y=1.故若存在定点Q，则点Q的坐标只可能为（0，1）.

下面证明Q（0，1）即为所求的定点.

证明：若直线l的斜率不存在，以上已证明.设直线l的方程为y=kx- ，点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2）.

由y=kx- ，x2+2y2-2=0，得（9+18k2）x2-12kx-16=0.由Δ=144k2+64（9+18k2）>0，且x1+x2= ，x1x2= ， =（x1，y1-1）， =（x2，y2-1），有 ・ =x1x2+（y1-1）（y2 -1）=（1+k2）x1x2- （x1+x2）+ =（1+k2）・ - ・ + =0.

故 ，即以AB为直径的圆恒过点Q（0，1）.

三、不能进行正确的转化而致误

例3 已知两定点E（-2，0），F（2，0），动点P满足 ・ =0.由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满足 = ，点M的轨迹为C.

（Ⅰ）求曲线C的方程;

（Ⅱ）过点D（0，-2）作直线l与曲线C交于A，B两点，点N满足 = + （O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程.

难度系数 0.60

错解 （Ⅰ）由于动点P满足 ・ =0，所以点P的轨迹是以EF为直径的圆.故动点P的轨迹方程为x2+y2=4.

设M（x，y）是曲线C上的任意一点.由PMx轴， = ，可知点P的坐标为（x，2y）.由于点P在圆x2+y2=4上，所以x2+（2y）2=4.故曲线C的方程为 +y2=1.

（Ⅱ）由于 = + ，所以四边形OANB为平行四边形.

当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点.

由y=kx-2， +y2=1，得（1+4k2）x2-16kx+12=0.x1+x2= ，x1x2= .

由Δ=（-16k）2-48（1+4k2）>0，得k2> .

SOAB= ・|OD|・|x1-x2|=|x1-x2|，

S？荀 OANB=2SOAB=2|x1-x2|=2 =2・ =2 =8・ .

错因 上述错解求最值时不能进行正确的转化.学生可以对其中的4k2-3进行换元，引入新的变量，再借助重要不等式求出最值.

正解 接上述错解，令4k2-3=t，则4k2=t+3（由上可知t>0）.

所以S？荀 OANB=8 =8 ≤8・ =2，当且仅当t=4，即k2= 时取等号.

故当k=± 时，平行四边形OANB面积的最大值为2，此时直线l的方程为y=± x-2.