新课程改革下绝对值几何意义的妙用
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摘要：对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，很形象直观，学生容易接受，往往能取得事半功倍的效果。
现在全国各地中小学都在进行新课程改革，在新的环境下，面对新时期的学生，对于某些传统重点知识需要教师用新的方法去讲解，从而提高学生分析解决问题的能力。下面是笔者结合自己多年的教学经验总结对绝对值几何意义的讲解的一些方法，供大家参考，以期能达到抛砖引玉的效果。
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题。在初中时我们我们知道：一个正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。这是绝对值的代数意义。绝对值的几何意义可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，如x表示数轴上x所在的点到原点的距离。
绝对值的几何意义应用之一：
x-a的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离,例如x +1表示数轴上x所在的点到-1的距离。x-a+x-b的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b 两点的距离之和。设y=x-a+x-b（ a
例一已知x-1+x+2> m 恒成立，求参数m的取值范围？
解：x -1表示数轴上x所在的点到1的距离，x +2表示数轴上x所在的点到-2的距离，因此x-1+x+2的最小值是3，因此m
例二 已知x+1+x-1< m 的解集为空集，求参数m的取值范围？
解：x +1表示数轴上x所在的点到-1的距离，x -1表示数轴上x所在的点到1的距离，因此x+1+x-1的最小值是2因此m≤2
例三 求x-1+x+2的最小值。
分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。
解：根据绝对值的几何意义可知，x-1表示数轴上点x到1的距离，x+2=x-（-2）表示数轴上点x到-2的距离。实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上1到-2（含-2及1）当中的任一点，且最短距离为3，即x-1+x+2的最小值为3。
此题实际上也说明了这么一个结论：x-a+x-b的最小值为a-b。通过分析我们亦不难理解，x-a-x-b的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间距离之差的绝对值，它有一个最大值a-b，即-3≤x-a-x-b≤3。
绝对值的几何意义应用之二：
x-a-x-b的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b 两点的距离之差。设y=x-a-x-b（ a
例一 已知y=x-3-x+3> m 恒成立，求参数m的取值范围？
解：y=x-3-x+3在数轴上表示数x的点到表示数3、-3 两点的距离之差。因此 -6≤y≤6 故m
例二 已知y=x-3-x+3> m 有解，求参数m的取值范围？
解：y=x-3-x+3在数轴上表示数x的点到表示数3、-3 两点的距离之差。因此 -6≤y≤6 故m < 6
例三 已知y=x-3-x+3≤ m 恒成立，求参数m的取值范围？
解：y=x-3-x+3在数轴上表示数x的点到表示数3、-3 两点的距离之差。因此 -6≤y≤6 故m ≥6
绝对值的几何意义应用之三：
例一 函数f(x)=的最小值（ ）
(A)190． (B)171．
(C)90．(D)48．
解：x-1+x-19≥18 ，当1≤x≤19时等号成立；
x-2+x-18≥16，当2≤x≤18时等号成立；
x-3+x-17≥15，当3≤x≤17时等号成立；依次类推，
x-9+x-11≥2，当9≤x≤11时等号成立；x-10≥0，当x=10时等号成立；因此满足以上所有条件的公共x=10，并且此时f(x) 有最小值=18+16+14 +…2=90 .故选C
例二 对于任意实数，若不等式x+1-x-2＜k恒成立，则实数k的取值范围是什么？
解：由x+1-x-2的几何意义可知，它表示数轴上一点x到-1和2两点距离之差的绝对值，它有一个最大值为3即x+1-x-2≤3，而x+1-x-2恒小于k，所以k＜3
总之，绝对值的几何意义的运用在高中经常遇到，是一个高超的技巧，这种简捷、巧妙的方法应引起我们的重视。教师在叙述绝对值概念时,应当重视绝对值的几何意义。这样结合数轴非常直观形象，学生十分容易接收,可以避免繁重的分类讨论。既可以使同学加深对绝对值概念的理解,又可以开阔同学的思路,以利干进一步学习。