直线倾斜角与斜率的关系解析

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直线的倾斜角与斜率，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用以坐标法研究直线及其几何性质的基础。不仅要理解概念、得到公式，更要了解几何问题代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想方法。

为了掌握好直线的倾斜角与斜率相关知识，下面列举几个直线倾斜角与斜率的问题，抛砖引玉，供大家参考。

1. 已知直线上两点，求直线倾斜角

例题1. 若直线经过A （ ，9）、B（ ，15）两点，则直线A B的倾斜角是_____________

分析：设直线AB的倾斜角是 ，由直线的斜率公式得 ，再根据倾斜角的范围求出倾斜角的大小．

解：设直线AB的倾斜角是 ，由直线的斜率公式得 = = ，

又 0≤ ＜π， =60°，

点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出斜率tan 是解题的关键．

2. 已知直线的倾斜角，求参数

例题2. 过两点A（-2，m），B（m，4）的直线倾斜角是45°，则m的值是_____________

分析：利用直线的斜率的定义，倾斜角和斜率的关系，以及斜率公式得 tan45°= ，解出m的值．

解：由题意得 tan45°=1= ，m=1，

点评：本题考查直线的斜率的定义，倾斜角和斜率的关系，以及斜率公式的应用．

3. 已知直线上两点，求直线斜率

例题3. 已知A（1，2）B（2，4），则直线AB的斜率为_____________

分析：把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果．

解：因为A（1，2）B（2，4），

所以直线AB的斜率k=2-41-2=2．

点评：此题考查利用两点坐标求两点确定直线的斜率，是一道基础题

4. 已知直线斜率，求参数

例题4. 过点A（3，-4），B（-2，m）的直线AB的斜率为-2，则m的值为（

）

分析：如果已知直线过 ，那么可利用公式 来求直线的斜率．

解：直线AB的斜率可表示为 ，

又知直线AB的斜率为-2，所以 ，

解之得m=6．

点评：本题考查两点表示直线斜率的公式．

5．直线的斜率与倾斜角的综合运用

例题5. 直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是_____________

分析：本题考查的知识点是直线的斜率与倾斜角之间的转化关系，由直线的方程xcosα+ y+2=0，我们不难得到直线的斜率的表达式，结合三角函数的性质，不难得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，进一步可以得到倾斜角的取值范围．

解：设直线的倾斜角为θ，

则tanθ=- cosα．又-1≤cosα≤1，- ≤tanθ≤

θ∈[0， ]∪[ ，π）．

点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，已知三角函数值求角是解题的难点．

6．分类讨论思想在求斜率和倾斜角中的应用

例6．直线 经过点 ，求 的斜率和倾斜角．

分析：由于过 的斜率表达式中分母为 ，故应进行讨论．

解：（1）当 时，直线 与 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为 ．

（2）当 时，斜率为 ．

当 时，倾斜角 ；

当 时，倾斜角 ．

点评：求直线的斜率时，需对斜率是否存在的情况进行讨论，这一点大家比较注意；但当斜率的表达式中含有字母又需求直线的倾斜角时，应注意对斜率的正、负进行讨论．

巩固练习

1．已知直线L过点A（-2，0）、B（-5，3），则它的倾斜角为_____________

参考答案：

2. 直线 的倾斜角为45°，则实数 等于_____________

参考答案：-1

2．直线的斜率为-1，那么它的倾斜角是_____________

参考答案：

3. 经过A（1，3）、B（0，5）两点的直线的斜率是_____________

参考答案：-2

4．直线 在 轴上的截距是 ，而且它的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，则A=_________,B=__________

参考答案：

5．直线 的倾斜角的范围是_____________

参考答案：

6. 对平面上两点A（-4，1），B（3，-1），直线y=kx+2与线段AB恒有公共点，则k的取值范围是_____________

参考答案：（-∞，-1]∪[ ，+∞）