高中数学中的一题多解问题
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【摘要】本文着意探讨高中数学教学中一题多解的问题.通过一题多解，可以实现对不同章节、不同内容的复习运用，使不同内容的数学知识之间发生联系，对知识的学习网络化、系统化，由点成面，形成一个完整而系统的数学知识体系.通过一题多解，也能实现知识的活学活用，增强学生的解题能力，提高学生的解题水平和技巧，最终实现提高学生数学学习综合素质的目的.
【关键词】高中数学；一题多解
高中数学教材内容有“两多”：知识点多，题型多.因此老师就常使用“举一反三”的方法进行教学，其目的在于以点带面，触类旁通.对学习能力较强的学生而言，能拓宽知识面，提高知识的应用能力.然而，对于数学学习较困难的学生，举一反三很难达到此目的，反而会造成他们理解上的诸多混乱，使他们望而却步，一定程度上影响其学习效果.因此，在教学中，特别是在高三复习中，可以引导学生运用题组训练构建数学知识网络，实现一题多解，提升学生解决问题的能力.
学习数学，自然需要解题，波利亚的观点：“数学技能就是解题能力——不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性想象力的问题.所以中学数学的首要任务就在于加强解题能力的训练.”解题是实践性的技能，在数学解题教学中，教师要让学生学会审题，养成验算的良好习惯，懂得反思总结.
读审题是一种综合能力，它包括认真细致的态度等多种非智力因素，也包括阅读、理解、分析等多种智力因素.
一个题目包含的信息有时是比较隐蔽的，甚至隐藏得很深，这就需要我们去发现、发掘、辨别、分析，这是一种能力，也是解题的关键点.读题是解题的基础，是正确、迅速解题的前提.为此在解题时要注意审视题目的条件、结论、结构，充分挖掘题目显性和隐性的信息，引导学生分析题目中各个量的特点、联系，调动既有知识体系中关联知识点实现解题.
验算是解决数学问题不可缺少的环节，是初步完成解题后不可或缺的一步，它可以进一步检查、更正、补充学生在初次解题中存在的错误和缺失，是保证题目正确解决的必要步骤和手段.掌握验算的方法，养成验算的习惯是学好数学的重要条件之一.
学会反思是指解题后对审题过程和解题方法及解题所用知识的回顾与思考.学会反思，对学生思维品质等各方面的培养都有积极的意义.
数学知识之间联系纵横交错，解题思路灵活，解题方法多样，但终却能殊途同归.即使一次性解题合理正确，也未必就是最佳思路，未必就是最优最简洁的解法.
例 在ABC中，b=2，B=45°，求边a的取值范围.
分析 题目已知一角和对边，求另一边的范围，故考虑用正弦定理求解.
解法一 由正弦定理得
解完题应该进一步反思，探求一题多解、多题一解的问题，开拓思路，沟通知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹.如上例题，再次分析一下题意，考虑试用余弦定理求解，见下.
解法二 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，b=2，B=45°，22=a2+c2-2accos45°.
【轨迹定理】和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹，是以已知线段为弦，所含圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）.
一题多解，每一种解法会用到不同章节的知识，这样可以复习相关知识，掌握不同解题技巧，同时每一种解法又能解很多道题，然后比较众多解法中哪一种最简洁.把每一种解法和结论进一步推广，既可实现知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又可总结出一般方法和思路.善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题，这对提高解题能力尤其重要.
解题之后，要反复探究问题的知识结构和系统性.对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究，加强知识的横向联系，把问题所蕴含孤立的知识“点”，扩展到系统的知识“面”.通过不断地联系、拓展，加强对知识的理解，进而形成认知结构中知识的系统性.要让学生明白，问题之间不是孤立的，许多看似无关的问题却有着内在的联系，解题不能就题论题，要寻找问题与问题之间本质的联系，要质疑为什么有这样的问题，它和哪些问题有联系，能否受这个问题的启发.将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合，创造性地设问，让学生在不断的知识联系和知识整合中，丰富认知结构中的内容，体验“创造”带来的乐趣，这对培养学生的创造性思维是非常有利的.点滴的发现，能唤起学生的成就感，激发学生进一步探索问题的兴趣.长期的积累，更有利于促进学生认知结构的个性特征的形成，并增加知识的存储量.
总之，解题后引导学生对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行反复思考并做出新的判断，让学生体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感.逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学，这是学好数学的必要条件.