思维的精华

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《数学课程标准》（实验）中强调：“注重学生的数学思维能力的培养”。其中的“数学思维”不单指学生的形式逻辑思维，还包括创造性思维，在某种意义上来，更应当注重学生创造性思维的培养，而作为创造性思维的形成方法之一的直觉思维，更应当受到人们的关注。

数学直觉思维的内涵

1.1.数学直觉思维概念的界定

数学直觉思维就是指具有意识的人脑对数学对象，结构及其规律关系的敏感的洞察，机械的猜想和总体的把握。直觉思维与逻辑思维，形象思维一样，是人类的基本思维形式之一，是物质世界在人脑中的反映，是显意识和潜意识相互作用的产物。在直觉思维过程中，主体在得出结论时往往不能明确地意识到思维过程的步骤和环节，也很难用语言将思维过程清楚地表达出来，大有知其然而不知所以然之感，故而给直觉思维披上了一层神秘的面纱。爱因斯坦对直觉一直给予极高的评价，他认为科学发现的道路首先是直觉的而不是逻辑的。“要通向这些定理，并没有逻辑的道路，只有通过那种对经验的共鸣的理解为依据的直觉，才能得到这些定律”。事实上，绝大多数的科学发现，都来源于直觉的猜测。

1.2直觉与灵感的区别与联系

人们在创造性活动过程中，确实存在所谓灵感的现象，即新形象，新概念，新思路的产生带有突然性。多数人并不否认灵感的存在，因为灵感是一种心理状态，是人们能够体验到的。直觉与灵感既有联系又有区别。灵感是指创造思维过程中的一个质的飞跃。在这个过程中一般都会用到直觉的创造思维方法。爱因斯坦说：“真正可贵的因素是直觉，他把科学创造原理的思想表达成这样一个模式：经验—直觉—概念。就创造性来说，关键是直觉，通过直觉提出作为创造成果的概念和判断及其组合——假说。所以，直觉同想象，类移，联系，模仿等创造思维方法有密切的联系，直觉是各种创造思维方法的综合，在较短的时间里综合运用各种创造方法，并在灵感阶段充分表现出来。

1.3直觉思维与逻辑思维的关系

在科学活动中，逻辑思维是基本的，然而，一旦原有的理论无法解释新发现的事实时，光凭逻辑推论就不够了。这时，直觉思维便成为科学活动舞台上的主角。

直觉思维区别于其他思维形成，有其自身的特征：

（1）从心理状态看：直觉思维具有自明性和直接性，也即结论如此之明白和直接，以致不在需要任何其他的论据；内在的确定性，就是指，主体对相应的结论往往具有十分强烈的信念，以致表现出明显的“排他性”。

（2）从知识性质看：外推性，知识指直觉的知识往往包括了信息的补充。特别是，如由有限向无限过渡，主题在此所外推出的信息不仅超出了原来所提供的信息的范围，而且也超出了实际理解的范围；整体性，这就是，直觉所提供的是一种整体的，统一的观点，而后也往往包括了从中删去了一些与所说的整体观点不一致的成分；理论性，由于直觉往往采取类比，范例，图象或行为性意义的建构等形式，因此，与感性知觉不同，直觉的知识所涉及的并非某个特定的现象或事实，而是包括了由特殊向一般的过渡，即是借助所说的特例表明了某种更为普遍的知识，当然，这又并非是纯粹的理论，因为，这种普遍的知识正是通过特例得到表征的。

（3）从心理过程看：自发性和立即性，是指尽管直觉包括了十分复杂的思维过程，如选择，重组，外推等，但所有这些思维活动又都是在无意识状态下得以完成的，从而，对于主体来说相应的结论似乎就是立即的，自发得出的。

由于数学学科具有高度抽象性和严密的逻辑性的特点，长期以来，教学中一直把培养学生的逻辑思维放在首位而忽视了直觉思维的培养。数学中，逻辑与直觉。推理与猜想总是相互伴随的。开始，人们通过学习前人的经验而产生对数学知识的记忆，当记忆达到一定的丰富程度后，会产生一些有意义的联想，通过类比又会产生新的联想，然后在对联想到的类似物进行归纳，抽象，依靠逻辑推理而产生对事物本质的认识。在数学发展史上，有许多著名的猜想（Fermat定理，哥德巴赫猜想就是其中的杰出代表）就是数学家具有敏锐洞察力的表现。他们能够跨过错综复杂的性质和相互联系，一下子看到一种现象的普遍性，然后再借助逻辑推理来证明自己猜想的正确性。这个过程就象先看到了隐藏在葡萄架里的葡萄，然后再踏着梯子一步步向上爬去摘葡萄的过程，故而二者是密不可分的。

2.直觉思维产生的条件

虽然直觉思维是难以预期的，正如伴随直觉的心理状态——灵感难以预期一样。但直觉思维需要一定的主客观条件。这些条件是：有一个能解决的问题，问题的解决已经具备了相当的客观条件，研究者顽强的探求问题的答案，并且经历了一段紧张的思考。机遇常常在此基础上起着触媒的作用，使人们在探索中产生新的联想，打开新的思路，从而实现某种顿悟。由于直觉以凝缩的形式包含了以往社会和人体的认识发展成果，因此，它归根结底是实践的产物，是持久探索的结果。即以凯库勒发现苯环结构为例，产生灵感，实现顿悟，并不象表面显示的那样，完全是不可理解的梦境我们可以约略分析当时的主客观条件。那是一个有机化学理论已经兴起，正处于大发展的阶段凯库勒本人思考苯的结构也有12年之久。还有两件事情值得注意：一是他在大学学习建筑，建筑艺术中空间结构美的熏陶，不会不给他对分子结构的研究带来影响；二是他年轻时当过法庭陪审员，曾经对某一起刑事案件中出现的首尾相接的蛇形手镯产生过深刻的印象。当时，这些蛇形手镯是作为有关炼金术案件的物证被提出来的。可见多年来积淀下来的所有这些“潜知”，最终统统被调动出来，才形成梦中那个环形的蛇，与苯的结构联系起来，达到顿悟式的突破。

3.在数学教学中培养学生直觉思维的意义

直觉思维和逻辑思维都能得到新知识，但后者只能在不超出前提知识的条件下得到一系列结论。它受到传统思想思路的束缚，因而在遇到需要突破传统观念的课题时就显得无能为力了，而直觉思维具有反常规的独创性，具有突破传统思路的开拓性。法国物理学家德布罗意认为：“无论基础方面还是犯法方面本质上都是理性的科学，只有科学家表现所谓想象和直觉的能力，也就是摆脱了严格推理的桎梏的能力，从而取得冒险的突进时，它才会达到辉煌的成就”。我们以往的教学中，更多关注的是学生逻辑思维的培养，逻辑的一个根本特点就是限制思维活动的灵活性，把思维放在一些固定的模式中进行，而直觉思维正式对逻辑思维的一个有益的补充。人们之所以要关注直觉思维，关键之处在于使我们更充分地发展人脑的创造能力，开发人类智力，使我们的思维尽量不要受习惯思维的影响，而要充分发挥人的主观能动性。

参考书目：

郑毓信肖柏荣熊萍〈〈数学思维与数学方法论〉〉四川教育出版社

刘大椿万重英〈〈发现与创新之路〉〉华中理工大学出版社