巧用旋转法 解证几何题

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旋转变换是解证几何题的一种很重要的技巧.在同一平面内，将图形的某一部分按特定的条件旋转一个角度，使图形中的相关部分发生新的联系，起到将分散的条件和结论相对集中的作用，使已知和未知得到更好的沟通，从而使问题简化.现就旋转法在解证几何题中的应用，举例说明如下，供同学们参考.

一、证线段相等

例1如图1，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AGEF于G.求证：AG=AB.

分析：条件中有共点且相等的边AD和AB，可将ADF以点A为中心，顺时针旋转90°，到ABH位置，然后只要证 AG、AB为两个全等三角形对应边上的高即可.

解：将ADF以点A为中心，顺时针旋转90°，到ABH位置.由ABH≌ADF，可得∠BAH=∠DAF，AH=AF.因为∠EAF=45°，所以∠EAH=∠BAE+∠BAH=∠BAE+∠DAF=45°，所以∠EAF=∠EAH.又因为AE为公共边，所以AEF≌AEH.因为AGEF，ABEH，所以AG=AB.

二、证线段不等

例2如图2，在ABC中，AB=AC，D是ABC内一点，∠ADB＞∠ADC.求证：DC＞BD.

分析：条件中有共点且相等的边AB和AC，可将ABD以点A为中心，逆时针旋转与∠BAC相等的度数，到ACE位置，在DC、BD间建立起新的联系，便于求证.

解：将ABD以点A为中心，逆时针旋转与∠BAC相等的度数，到ACE位置，连结DE.由ACE≌ABD，可得∠AEC=∠ADB，AE=AD，CE=BD，从而∠AEC＞∠ADC，∠ADE=∠AED，所以∠AEC-∠AED＞∠ADC-∠ADE，即∠DEC＞∠EDC.则在CDE中，DC＞CE.所以DC＞BD.

三、求线段的长

例3如图3，P是等边三角形ABC内一点，PA=2，PB=2 ，PC=4.求ABC的边长.

分析：条件中有共点且相等的边BA和BC，可将BAP以点B为中心，顺时针旋转60°，到BCM位置，从而使已知条件得以集中.

解：将BAP以点B为中心，顺时针旋转60°，到BCM位置，连结PM.由BCM≌BAP，可得BM=BP，MC=PA，∠PBM=∠ABC=60°，所以BPM为等边三角形，则PM=PB=2 .在CPM中，因为PC=4，MC=2，PM=2 ，所以PC2= PM2+MC2，则CPM是直角三角形，∠PMC=90°，∠CPM=30°.又因为BPM为等边三角形，所以∠BPM=60°.故∠BPC=90°，所以BCP是直角三角形，则BC2=BP2+PC2=（2 ）2+42=28，从而BC=

2 .

四、证线段关系

例4如图4，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AF平分∠DAE.求证：AE=BE+DF.

分析：条件中有共点且相等的边AB和AD，可将ABE以点A为中心，逆时针旋转90°，到ADG位置，这样就使得要求证的三条线段都集中在一个三角形中.

解：将ABE以点A为中心，逆时针旋转90°，到ADG位置.由ABE≌ADG，得∠BAE=∠DAG，AE=AG，BE=DG.因为AF平分∠DAE，所以∠EAF=∠DAF，所以∠BAE+∠EAF=∠DAG+∠DAF，即∠BAF=∠GAF.又因为AB∥CD，所以∠BAF=∠GFA.从而∠GAF=∠GFA，所以AE=AG=FG=GD+DF=BE+DF.

五、证两角相等

例5如图5，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°.求证：∠ADE=∠ADC.

分析：条件中有共点且相等的边AE和AB，可将ADE以点A为中心，顺时针旋转与∠BAE相等的度数，到AFB位置，使已知条件通过转化得以充分集中.

解：将ADE以点A为中心，顺时针旋转与∠BAE相等的度数，到AFB位置，连结DF.由ADE≌AFB，可得∠AED=∠ABF，∠ADE=∠AFB，ED=BF，AD=AF.因为∠ABC+∠AED=180°，所以∠ABC+∠ABF=180°，所以C、B、F三点共线.又因为CD=BC+DE=BC+BF=CF，所以∠CFD=∠CDF.由AD=AF，可得∠DFA=∠FDA，所以∠ADE=∠AFB=∠CFD+∠DFA=∠CDF+∠FDA=∠ADC.

六、证两角不等

例6如图6，在ABC中，AB＞AC，AM为BC边上的中线.求证：∠CAM＞∠BAM.

分析：条件中有共点且相等的边MC和MB，可将MCA以点M为中心，顺时针旋转180°，到MBN位置，使要求的两个角集中在一个三角形中.

解：将MCA以点M为中心，顺时针旋转180°，到MBN位置.由MBN≌MCA，可得NB=AC，∠CAM=∠BNM.在ABN中，有AB＞NB，则∠BNM＞∠BAM.所以∠CAM＞∠BAM.

七、求角的大小

例7如图7， P为等边三角形ABC内一点，点P与各顶点A、B、C的距离分别为3、4、5.求∠APB的度数.

分析：条件中有共点且相等的边AC和AB，可将APC以点A为中心，顺时针旋转60°，到ADB位置，使已知的三条线段集中到同一个三角形中.

解：将APC以点A为中心，顺时针旋转60°，到ADB位置，连结DP.由ADB≌APC，可得AD=AP，BD=CP，∠DAB=∠PAC.又因为ABC为等边三角形，则∠DAP=∠BAC=60°，所以ADP是等边三角形，从而DP=AP=3.在BDP中，BD=5，PB=4，DP=3，由于BD2=PB2+DP2，所以BDP 是直角三角形，∠BPD=90°.所以∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°.

八、证面积关系

例8如图8，在ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，DFDE.求证：SDEF＜SADE+SBDF.

分析：条件中有共点且相等的边DA和DB，可将ADE以点D为中心，顺时针旋转180°到BDG位置.

解：将ADE以点D为中心，顺时针旋转180°，到BDG位置，连结FG.由ADE≌BDG，可得DG=DE.因为DFDE，所以DGF≌DEF，所以SADE+

SBDF=SBDG+SBDF=S四边形BFDG＞

SDGF.而SDGF = SDEF，所以

SDEF ＜ SADE + SBDF.

从以上几例可以看出，条件中有相等且共点的对应边即可考虑运用旋转法.作旋转变换时，一定要指明被旋转的图形、旋转中心（等边顶点）、旋转方向、旋转角度（等边夹角）及旋转到什么位置.

[练习]

1.如图9，P为正三角形ABC内一点，且PC=3，PA=4，PB=5.求正三角形ABC的边长.（提示：将ACP以点A为中心，顺时针旋转60°，用余弦定理，求得AB= .）

2.如图10， M、N为等腰直角三角形ABC的斜边AB上的两点，∠MCN=45°，AM=4，BN=3.求MN的长.（提示：将CBN以点C为中心，顺时针旋转90°，让某关键角为直角，求得MN=5.）

3.如图11， P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=3，PD= .求∠APD的度数.（提示：将ABP以点A为中心，逆时针旋转90°，求得∠APD=135°.）

4.如图12，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，AEBC，AE=a.求四边形ABCD的面积.（提示：将ABE以点A为中心，逆时针旋转90°，求得四边形ABCD的面积为a2.）

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