全国高中数学联合竞赛加(A卷)

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一、（本题满分50分）

（重庆师范大学刘凯年教授供题）

如图1，给定凸四边形ABCD，∠B+∠D

[A][D][P][C][O][E][B]

图1

（Ⅰ）求证：当f（P）达到最小值时，P，A，B，C四点共圆；

（Ⅱ）设E是ABC外接圆O的上一点，满足：=，=－1，∠ECB=∠ECA，又DA，DC是O的切线，AC=，求f（P）的最小值．

解析：解法1，（Ⅰ）如图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P，有

PA・BC+PC・AB≥PB・AC．

因此f（P）＝PA・BC＋PC・AB＋PD・CA≥PB・CA+PD・CA＝（PB＋PD）・CA．

因为上面不等式当且仅当P，A，B，C顺次共圆时取等号，因此当且仅当P在ABC的外接圆且在上时，f（P）＝（PB＋PD）・CA． 又因PB+PD≥BD，此不等式当且仅当B，P，D共线且P在BD上时取等号． 因此当且仅当P为ABC的外接圆与BD的交点时，f（P）取最小值f（P）min＝AC・BD．

故当f（P）取最小值时，P，A，B，C四点共圆．

（Ⅱ）记∠ECB=α，则∠ECA=2α，由正弦定理有==，从而sin3α=2sin2α，即（3sinα－4sin3α）=4sinαcosα，所以

3－4（1－cos2α）－4cosα=0，整理得4cos2α－4cosα－=0，解得cosα=或cosα=－（舍去），故α=30°，∠ACE=60°． 由已知=－1=,有sin（∠EAC－30°）=（－1）sin∠EAC，即sin∠EAC－cos∠EAC=（－1）sin∠EAC，

整理得

sin∠EAC=cos∠EAC，

故tan∠EAC==2+，可得∠EAC=75°，

从而∠E=45°，∠DAC=∠DCA=∠E=45°，ADC为等腰直角三角形．因AC=，则CD=1．

又ABC是等腰直角三角形，故BC=，BD2=1+2－2・1・・cos135°=5，BD=．

故f（P）min＝BD・AC=・=．

解法2，（Ⅰ）引进复平面，仍用A，B，C等代表A，B，C所对应的复数．

由三角形不等式，对于复数z，z，有

（1）式取等号的条件是

复数（A－P）（C－B）与（C－P）（B－A）同向，故存在实数λ>0，使得

（A－P）（C－B）＝λ（C－P）（B－A），

=λ，

向量旋转到所成的角等于旋转到所成的角，

从而P，A，B，C四点共圆．

（2）式取等号的条件显然为B，P，D共线且P在BD上．

故当f（P）取最小值时，P点在ABC之外接圆上，P，A，B，C四点共圆．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（P）min＝BD・AC．

以下同解法1.

二、（本题满分50分）

（西南大学 唐春雷教授供题）

设f（x）是周期函数，T和1是f（x）的周期且0

（Ⅰ）若T为有理数，则存在素数p，使是f（x）的周期；

（Ⅱ）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列｛an｝满足1＞an＞an＋1＞0（n=1，2，…），且每个an（n=1，2，…）都是f（x）的周期．

证明：（Ⅰ）若T是有理数，则存在正整数m，n使得T=且（m，n）=1，从而存在整数a，b，使得

ma+nb=1．

于是

==a+bT=a・1+b・T

是f（x）的周期．

又因0

设p是m的素因子，

则m=pm′，m′∈N∗，从而

=m′・

是f（x）的周期．

（Ⅱ）若T是无理数，令

a1=1－

T，

则0

由数学归纳法易知an均为无理数且0

因此｛an｝是递减数列．

最后证每个an是f（x）的周期． 事实上，因1和T是f（x）的周期，故a1=1－

T亦是f（x）的周期． 假设ak是f（x）的周期，则ak+1=1－

ak也是f（x）的周期． 由数学归纳法，已证得an均是f（x）的周期．

三、（本题满分50分）

（西南大学 李扬荣教授供题）

设ak>0，k=1，2，…，2008． 证明：当且仅当ak>1时，存在数列｛xn｝满足以下条件：

（）0=x0

（）xn存在；

（）xn－xn－1=akxn+k－ak+1xn+k，n=1，2，3，…．

证明：必要性. 假设存在｛xn｝满足（），（），（iii）． 注意到（）中式子可化为

xn－xn－1=ak（xn＋k－xn＋k－1），n∈N∗，

其中x0=0．

将上式从第1项加到第n项，并注意由x0=0得

xn=a1（xn＋1－x1）＋a2（xn＋2－x2）＋…＋a2008（xn＋2008－x2008）．

由（）可设b=xn，将上式取极限得

b=a1（b－x1）＋a2（b－x2）＋…+a2008（b－x2008）=b・ak－（a1x1+a2x2+…+a2008x2008）

因此ak>1．

充分性. 假设ak>1．

定义多项式函数如下，

f（s）＝－1+aksk，s∈［0，1］，

则f（s）在［0，1］上是递增函数，且

f（0）＝－1＜0，f（1）＝－1＋ak＞0．

因此方程f（s）=0在［0，1］内有唯一的根s=s0，且0

下取数列｛xn｝为xn=s，n=1，2，…，｛xn｝明显地满足题设条件（），且

xn=s=．

因0

最后验证｛xn｝满足（），因f（s0）=0，即aks=1，从而

xn－xn－1=s=

s=aks=ak（xn+k－xn+k－1）．