函数导数在函数图象上的运用

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【中图分类号】 G633.62 【文献标识码】B 【文章编号】 1001-4128（2011） 09-0126-01

导数是近代数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带,它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野,是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。本文拟就导数在函数图象上的应用,谈一点个人的感悟和体会。

1、以导数概念为载体处理函数图象问题函数图象直观地反映了两个变量之间的变化规律,由于受作图的局限性,这种规律的揭示有时往往不尽人意. 导数概念的建立拓展了应用图象解题的空间

例:设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是(D)

2、运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？

例:已知函数,

问：是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。

解：函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，x>0函数(x)=g(x)－f(x)=－8x+6ln x+m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

=2x－8+随x变化如下表：

x极大值=(1)=1-8+m=m-7，x极小值=(3)=9-24+6ln3+m=m+6ln3-15

当x0时，(x)，当x时，(x)

要使(x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须

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所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15―6ln 3）.（分析草图见下图1）

图1 图2 图3

引申1：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？

前面相同，只需把后面改为m+6In3-15>0或 m-715-6In3或m

引申2：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？

前面相同，只需把后面改为m+6In3-15=0或 m-7=0，即m=15-6In3或m=7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）。

图4 图5

从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：

①构造函数(x)=f(x)－g(x)

②求导

③研究函数(x)的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）

④画出函数(x)的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式

⑤解不等式。解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。

综上，由于导数的广泛应用,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,还可以解析几何相联系,可以在知识的网络交汇处设计问题。因此,在教学中,要突出导数的应用。