剖析线性回归方程典型题

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对于线性回归方程问题，一是要注意相关关系的定义；二是要注意相关关系的理解；三是要注意回归分析中的散点图法及回归方程法和最小二乘法，从而确定变量之间的关系．

典型题一 相关关系问题的探究

例1 下列关系中，是带有随机性相关关系的是 .

（1）正方形的边长与面积之间的关系；（2）水稻产量与施肥之间的关系；（3）人的身高与年龄之间的关系；（4）降雪量与交通事故的发生率之间的关系．

分析：两变量之间的关系有两种，函数关系与带有随机性的相关关系，要注意两者的区分．

解：（1）是函数关系；（2）不是严格的函数关系，但是具有相关关系，因而是相关关系；（3）不是相关关系，也不是函数关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显的变化了，因而他们不具有相关关系；（4）具有相关关系．

点评：本题主要研究的是函数关系和相关关系的区别和联系，当两个变量之间的关系是一种不确定的关系时，这两个变量之间的关系就是相关关系，判断变量之间有无相关关系的一种常用的简便方法就是绘制散点图．

典型题二 相关系数法求回归直线方程

例2 测得某国10对父子身高（单位：英寸）如表1.

（1）对变量y与x进行相关性检验；（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；（3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高．

（3）当x=73英寸时，

[AKy^]=0.4685×73+35.7042=69.9047

，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．

点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型．

典型题三 利用回归直线方程对总体进行估计

例3 一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机器零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，表2是抽样试验结果.

（2）要使y≤10，则0.7286x-0.8575≤10，所以x≤14.9019.

因此，机器的转速应该控制在15转/秒以下．

点评：本题中准确求出回归直线方程，是做出正确判断的前提．

典型题四 回归分析创新题

例4 在某化学实验中，测得如表3所示的6组数据，其中x(min)表示化学反应进行的时间，

y(mg)表示未转化物质的量．

（1）设y与x之间具有关系y=cdx，试根据测量数据估计

c和d的值．

（2）估计化学反应进行到10 min时未转化的物质的量．

分析：可考虑先通过适当的变量代换，把非线性回归问题转化为线性回归问题，从而确定未知参数．

解：（1）在y=cdx的两边取自然对数，可以得到lny=lnc+xlnd．设

lny=z,lnc=a,

lnd=b，则z=a+bx，则由已知数据可以得到表4.

所以估计化学反应进行到10 min时未转化物质的量为

5.4 mg．

点评：在实际问题中，有时两个变量之间并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散，点图选择适当的曲线方程，然后通过适当的变量代换，把线性问题转化为线性回归问题，从而确定未知参数，建立相应的回归方程．

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