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回眸近几年的高考题,三角函数的单调性是高考经常光顾的一个“风景点”之一.
如何来学好这一内容呢?让我们先来看看如何运用三角函数的单调性拯救ω.
同学们首先要对知识要点“三角函数在某特定区间上的单调性”了然于心,如果对于应用还不灵活,那么让我们去找解题规律吧!
例1 (2011年山东卷)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0, ]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω=()
A.3 B.2 C. D.
解析 (解法一) 因为f(x)=sinωx(ω>0)过原点,所以
当0≤ωx≤,即0≤x≤时,f(x)=sinωx是增函数;
当≤ωx≤,即≤x≤时,f(x)=sinωx是减函数.
由f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,
在区间[,]上单调递减,知=,则ω=.
(解法二)设t=ωx,则g(t)=sint在区间[0,ω]上单调递增,在区间[ω,ω]上单调递减,函数在t=ω处取得最大值1,所以1=sinω,则ω=,故ω=.
评注 在三角函数的解题过程中,我们常常会出现自己觉得很有道理但结果却是错误的情况.其中一个非常重要的原因,是忽视了三角函数中的隐含条件的利用.此题的隐含条件是f(x)=sinωx(ω>0)过原点,那么在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减就圈定在一特定的区间内了,问题就容易解决了.
变式1 函数f(x)=2sinωx(ω>0)在上[0,]单调递增,且在这个区间上的最大值是,那么ω=________.
解析 因为f(x)=2sinwx(ω>0)在上[0,]上单调递增,且在这个区间上的最大值是,所以2sinω=,且0
例2 (2013年上海卷)已知函数f(x)=2sinωx,其中常数ω>0,若y=f(x)在[-,]上单调递增,求ω的取值范围.
解析 (解法一)因y=sinx在每个闭区间[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上为增函数,
所以f(x)=2sinωx(ω>0)在每个闭区间[-,+](k∈Z)上为增函数.
依题意知[-,][-,+]对某个k∈Z成立,此时必有k=0,
于是-≥-≤,解得0
(解法二) 因为ω>0,设t=ωx,则g(t)=2sint在区间[-ω,ω]上单调递增,则[-ω,ω][-,],则需满足-ω≥-ω≤,解得0
(解法三) 由函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[-,]上单调递增,则
f′(x)=2ωcosωx≥0在[-,]上恒成立,又ω>0,则cosωx≥0,
所以[-ω,ω][-,],于是-ω≥-ω≤,解得0
评注 解答本题要注意三点:(1)注意隐含条件函数关于原点对称.(2)解法一直接求函数f(x)=2sinωx的单调区间,利用给定区间[-,][-,+]给k赋值即可;解法二逆向思维利用换元法,求出新函数g(t)=2sint的单调区间,此后还是利用所给区间是整体单调区间的子区间来做.(3)解法三转化为函数在某区间上恒成立问题,建立函数与不等式的关系,借助图象解三角不等式,最后检验解的合理性.
变式2 (2012年重庆卷)设f(x)=4cos(ωx-)sinωx-cos(2ωx+π),其中ω>0,
(Ⅰ)求函数y=f(x)的值域;
(Ⅱ)若f(x)在区间[-,]上为增函数,求ω的最大值.
解析 (Ⅰ)f(x)=4(cosωx+sinωx)sinωx+cos2ωx
=2sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx
=sin2ωx+1.
因为-1≤sin2ωx≤1,所以函数y=f(x)的值域为[1-,1+].
(Ⅱ)因为y=sinx在每个闭区间[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上为增函数,
所以f(x)=sin2ωx+1(ω>0)在每个闭区间[-,+](k∈Z)上为增函数.
依题意知[-,][-,+]对某个k∈Z成立,此时必有k=0,
于是-≥-≤,解得ω≤.
故ω的最大值为.
评注 要解决一个新问题,常常采用由生疏到熟悉,由复杂到简单等的转化策略,使问题获得解决.那么,遇到“在非特定区间上的单调性”再和上面题目那样做,问题不就迎刃而解了,仔细思考往往能使问题绝处逢生,找到求解的新途径.
例3 (2012年新课标卷)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.[,] B.[,] C.(0,] D.(0,2]
解析 (解法一)特殊值法
ω=2(ωx+)∈[,]不合题意,排除D.
ω=1(ωx+)∈[,]不合题意,排除B、C.
另:ω(π-)≤π?圳ω≤2,(ωx+)∈[ω+,πω+][,],
得:ω+≥πω+≤,解得≤ω≤.
(解法二)因为ω>0,设t=ωx+,
所以g(t)=sint在区间[ω+,ω+](k∈Z)上单调递减,
所以[ω+,ω+][+2kπ,+2kπ],则需满足
ω+≥+2kπ(k∈Z)ω+≤+2kπ(k∈Z)≥π,即ω≥+4k(k∈Z)ω≤+2k(k∈Z)0
(解法三)因为y=sinx在每个闭区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z)单调递减,
所以f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在每个闭区间[+,+](k∈Z)上单调递减.
依题意知(,π)[+,+]则需满足
≥+(k∈Z)π≤+(k∈Z)≥π,即ω≥+4k(k∈Z)ω≤+2k(k∈Z)0
(解法四)因为函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在(,π)上单调递减,
所以f′(x)=ωcos(ωx+)≤0在(,π)上恒成立.
又ω>0,则cosωx≤0,所以[ω+,πω+][2kπ+,2kπ+],则需满足
ω+≥2kπ+(k∈Z)πω+≤2kπ+(k∈Z)≥π,即ω≥+4k(k∈Z)ω≤+2k(k∈Z)0
评注 此题主要考查函数f(x)=Msin(ωx+φ)的性质,兼考查分析思维能力,要求对基本函数的性质能熟练运用,解决本题关键是要考虑单调区间即周期.解法一对选择题适用,取特殊值可降低难度,简化运算.解法三逆向思考通常是指从问题的反向进行思考,运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解题思维策略.解法四不等式与函数是互相联系的,利用函数与不等式之间的对立统一关系,能进一步提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力.
变式3 已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是()
A.[,] B.[,] C.(0,] D.(0,2]
解析 由2kπ≤ωx+≤2kπ+π,k∈Z,解得-≤x≤+.
又因为函数f(x)=cos(ωx+)在(,π)上单调递减,
则(,π)[-,+],所以需满足
≥-(k∈Z)π≤+(k∈Z)≥π,即ω≥4k-(k∈Z)ω≤+2k(k∈Z)0
总之,解题时,要充分发掘题设特征,多思考,多反思,多总结. 若能灵活地应用有关知识和技巧解题,则无疑可起到事半功倍之效.