立体几何测试卷(A卷)

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A. 3πa2 B. 6πa2 C. 2πa2 D. 24πa2

2. 已知一个几何体的三视图如图1所示（单位：cm），其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是（ ）.

3. 将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE，BC所成角的正切值为（ ）

4. 已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题：

①若mα，mβ，则αβ；

②若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；

③如果mα，nα，m，n是异面直线，那么n与α相交；

④若α∩β=m，n∥m，且nα，nβ，则n∥α且n∥β.

其中正确命题的个数是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

5. 条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）

7. 已知长方体ABCD-A′B′C′D′，对角线AC′与平面A′BD相交于点G，则G是A′BD的（ ）

A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D. 重心

8. 已知直二面角α-l-β，点A∈α，ACl，C为垂足，点B∈β，BDl，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD等于（ ）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

10. 已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图3所示，则其侧视图的周长为___________.

11. 如图4，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是____________.

13. 如图5，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件__________时，就有MN∥平面B1D1C.

三、解答题：本大题共3小题，14、15题每题10分，16题15分，共35分.

14. 如图6为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2.

（1）求四棱锥B-CEPD的体积；

（2）求证：BE∥平面PDA.

15. 已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，点B1在底面上的射影D落在BC上.

（1）求证：AC平面BB1C1C；

（2）若AB1BC1，且∠B1BC=60°，求证：A1C∥平面AB1D.

16. 如图8，在四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点.

（1）求PA与底面ABCD所成角的大小；

（2）求证：PA平面CDM；

（3）求二面角D-MC-B的余弦值.