柯西积分定理及柯西积分公式在实函数中的应用

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摘 要： 通过柯西积分定理及柯西积分公式来求解或证明实函数积分，可以简化实函数积分计算的问题。

关键词： 柯西积分定理 柯西积分公式 实函数 积分

在数学分析的某些积分运算中，如果按照常规的积分进行运算，就可能导致被积表达式相当复杂，最终无法完成积分运算。通过引入柯西积分定理及柯西积分公式来求解或证明实函数积分，从某种程度上可避免这种复杂的过程，从而轻松地进行求解，有事半功倍的效果。

一、柯西积分定理

柯西积分定理：设C是一条周线，D为C的内部，函数f（z）在D内解析，在=D+C上连续，则∮f（z）dz=0.

例1：由积分I=∮（C∶|Z|=1）的值， 求∮dq的值.

解：因为符合柯西积分定理的条件，则有∮=0

令z=cosq+isinq，（-p≤q≤p）

I=∮=∮dq

=∮dq

=∮dq

=dθ+idθ

I=dθ=0

I=idθ

=2idθ=0

所以dθ=0.

从例1我们可以看出，如果按照常规方法，将所要求解的dθ，用万能公式代换的话，将变得相当复杂，而柯西积分定理却避免了这种复杂性，使得解题思路清晰，解题过程简洁明了，很大程度上提高了解题效率，不失为求解这种实函数的好办法。

二、柯西积分公式

柯西积分公式：设区域D的边界是周线（或复周线）C，函数f(z)在D内解析，在=D+C上连续,则有f(z)=dξ(z∈D).

例2：求积分I=dz(C∶|Z|=2)，从而证明：

dθ=

证明：因为z=1是dz在 C内唯一的奇点，而f(z)=e在C内解析，则由柯西积分公式I=dz=2πie|=2πi

设z=2(cosθ+isinθ)(-π≤θ≤π)，

I=dz=dθ

=dθ

=dθ

=dθ

=dθ+2idθ

I=dθ

I=2idθ

=4idθ

=2πi

则dθ=

即原式得证。

从例2我们可以看到，如果单纯地去看所要求证的结果，根本无法入手，然而柯西积分定理却能完全不去顾及所要求证的结果，轻而易举地解决这道实函数题目，事半功倍。

参考文献：

［1］钟玉泉.复变函数论［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［2］哈尔滨工业大学数学系组编.复变函数与积分变换［M］. 北京：科学出版社，2004.

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