分类有方 妙不可言

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在解题时,常常遇到这样一种情况,解到某一步之后,不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了,因为这时被研究的问题包含了多种情况. 这就必须在条件所给出的区间内,正确划分若干个子区间,然后分别在多个子区间内进行解题. 这就是分类讨论的思想.

运用分类讨论的思想方法解题,可以化整为零,化繁为简,是解题的一个重要策略.

在运用分类讨论的思想解题时,首先,要注意一些基本原则,如分类的对象必须确定,标准必须统一. 在确定了对象和标准之后,还要注意分清层次,不越级讨论. 其次,还应注意一些基本方法:明确讨论对象,确定对象的全体 确定分类标准,正确进行分类 逐步进行讨论,获取阶段性结果 归纳小结,综合得出结论.

分类讨论问题一般有概念公式型、参数变化型、特殊要求型等几种类型. 下面归类分析,旨在说明用分类讨论思想解题是必要且行之有效的.

有些概念是分类定义的,有的定理、公式及运算法则是分类给出的,如绝对值、分段函数、等比数列的求和公式等. 此时,我们就从这些概念公式的分类处切入,进行分类讨论.

已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于原点O的两个不同的点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,当α,β变化且α+β为定值θ(0

思路点拨若不深入考虑,不少同学会设直线方程为点斜式y-y0=k•(x-x0),想通过条件求出(x0,y0),可由于涉及三个参数,操作起来很难且行不通. 而斜截式y=kx+b里只含有两个参数,是不少人理想的选择. 对于条件α+β为定值θ,易想到用公式tanθ=tan(α+β)= ,再联立y=kx+b与y2=2px的方程组,借助韦达定理进行求解.

以上思路是很多同学对一些数学概念模糊而形成的一种“通病”. 首先,点斜式和斜截式方程能表示一切直线吗?当然不能,因为直线的斜率有可能不存在,这样就可能造成漏解. 另外,本题中当θ= 时,tanθ显然没有意义,因此必须分θ= 与θ≠ 两种情况讨论.

设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x1≠x2且x1x2≠0,所以直线AB的斜率存在. 设其方程为y=kx+b,显然x1= ,x2= . 将y=kx+b与y2=2px联立,消去x得ky2-2py+2pb=0,由韦达定理得y1+y2= ,y1y2= .

(i)当θ= ,即α+β= 时,tanαtanβ=1,即 • =1,所以x1x2-y1y2=0,可得b=2pk. 将其代入直线方程得y=kx+2pk,即k(x+2p)-y=0,故直线AB恒过定点(-2p,0).

(ii)当θ≠ 时,由tanθ=tan(α+β)= = = ,得b= +2pk. 将其代入直线方程,整理得k(x+2p)-y- =0,故直线AB恒过定点-2p, .

含参数的数学问题,由于参数的取值不同,会导致结果不同,或者对不同的参数值,要运用不同的求解方法. 通过对参数值的合理划分,使原先的“不确定因素”不再影响整个问题的解决.

已知函数f(x)= x2-ax+(a-1)lnx,其中a>1,讨论函数f(x)的单调性.

思路点拨若审题过于草率,想甩掉函数中lnx这个尾巴,部分同学首先想到的是讨论a=1的情形,得到f(x)= x2-x的简单形式. 然后才想到用导数,求得f ′(x)=x-a+ = . 因函数的定义域为(0,+∞),需考虑x2-ax+a-1的符号. 此时该怎么办呢?因式分解!将式子分解成(x-1)•(x+1-a),可惜有同学只给出a-1>1与a-1

由以上分析可知,部分同学没有注意讨论对象a的范围,导致考虑了a=1的错误解答. 另外,也有的同学在比较两根大小时不小心漏掉了a-1=1的特殊情形. 如何来避免此类的“不小心”呢?其实有法可依,即明确讨论对象的全体(a>1),分类时做到不重不漏. 这样,即使开始不小心,但最终回顾一下解题过程,便会发现漏掉了a=2的情形,亡羊补牢,为时不晚.

当a-1=1,即a=2时,f ′(x)= ≥0,故f(x)在(0,+∞)单调递增;

当a-11,即10. 故f(x)在(a-1,1)单调递减,在(0,a-1)和(1,+∞)单调递增.

当a-1>1,即a>2时,同理可得f(x)在(1,a-1)单调递减,在(0,1)和(a-1,+∞)单调递增.

对于一些实际问题,如排列组合问题与概率问题,需按题目的特殊要求分成若干情形研究.对含有特殊元素(位置)的排列组合问题,常按特殊元素(位置)的特征进行恰当的分类,然后加以解决.

如图1,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块种1种花,且相邻的两块种不同的花,则不同的种法总数为_______.

图1

思路点拨题目乍一看,易先想到分步计数原理,第一步种A,有4种方法;第二步种B,有3种方法;第三步种C,有3种方法,第4步种D,遇到了麻烦,因D与A,C都不同,而A与C之间究竟是什么关系,不明确,该怎么办?

基于以上麻烦,对A,C是否相同分类讨论,问题即可迎刃而解.

解法1:当A与C种同种花时,由分步计数原理,不同的种法总数有4×3×3=36种;

当A与C种不同种花时,由分步计数原理,不同的种法总数有4×3×2×2=48种;

综上,不同的种法总数共有36+48=84种.

以上过程,讨论的对象是位置A与C. 由此受到启发,明确讨论对象是关键一步. 其实,仔细分析,也可将所种花的种类作为讨论对象,同样也可快速获解.

解法2:由题意知,符合条件的种法至少要种两种不同的花.

第一类:种两种不同的花,即A,C种相同的花,B,D种相同的花,共有4×3=12种;

第二类:种3种不同的花,再分两小类. ①A,C种相同的花时,共有4×3×2=24种;②B,D种相同的花时,同理也有24种;

第三类:种4种不同的花,依分步计数原理可得4×3×2×1=24种.

综上,由分类计数原理,共有12+48+24=84种.

对分类讨论思想的考查,关键有两方面,其一是有没有分类的意识,遇到应该分类的情况是否想到要分类;其二是是否掌握科学的方法策略.我们可用口诀“整体把握,发现分类;确定对象,明确全集;统一标准,合理分类;逐类讨论,完善解答”来铭记. 通常情况下,可从以上四个方面作为切入点,当同学们对以上各种情况“心中有数”时,分类讨论便不再让人望而生畏,而是一种自然的思维习惯,心中真正体会到“分类讨论是个宝,处理问题莫忘掉”.

1. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.

(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;

(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-x-1;

(Ⅲ)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.

2. 在等差数列{an｝中,a1=1,前n项和Sn满足条件 = .

(Ⅰ)求数列{an｝的通项公式;

(Ⅱ)记bn=anp (p>0),求数列{bn｝的前n项和Tn.

3. 用0到9这10个数字,求组成没有重复数字的三位数是偶数的概率.

参考答案见P60

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文