构造可导函数证明不等式

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇构造可导函数证明不等式范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合题的一个难点，也是近几年高考的热点.解答此类题的技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.

1.作差法构造函数

例1 已知函数f(x) =12x2+lnx.求证：在区间 (1,+∞) 上，函数f(x)的图象在函数g(x)=23x3 的图象的下方.

证明：设F(x)=g(x)-f(x)，即F(x)=23x3－12x2-lnx.

则F’(x)=2x2-x-1x=(x-1)(2x2+x+1)x.

当x>1时，则F’(x) =(x-1)(2x2+x+1)x> 0.

F(x)在(1,+∞)上为增函数.

F(x)>F(1)=16>0.

当 x>1时，g(x)-f(x)> 0，即f(x)

故在区间 (1,+∞) 上，函数f(x)的图象在函数g(x)=23x3 的图象的下方.

点评：本题首先根据题意构造出一个函数，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式.

2.换元法构造函数

例2 证明：对任意的正整数n，不等式ln(1n+1)>1n2-1n3恒成立.

证明：令h(x)=x3-x2+ln(x + 1).

则h’(x)= 3x2－2x+1x+1=3x3+(x-1)2x+1在x∈(0,+∞)上恒为正.

所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增.

当x∈(0,+∞)时，恒有h(x)>h(0)=0，即x3-x2+ln(x+1)>0.

ln(x+1)>x2-x3.

对任意正整数n，取x=1n∈(0,+∞).

则有ln(1n+1)>1n2-1n3.

点评：我们知道，当F(x)在［a, b］上单调递增时，则x>a时，有F(x)>F(a).如果f(a)=φ(a)，要证明x>a时，f(x)>φ(x)，那么只要令F(x) =f(x)-φ(x) 就可以利用F(x)的单调递增性来推导.也就是说在F(x)可导的前提下，只要证明F’(x)>0即可.

例3 若x>4，求证2x>x2.

证明：欲证2x>x2，两边取自然对数，则只要证明xln 2>2ln x即可.

很自然地想到用作差法，则只要证明xln 2-2ln x>0.

令f(x)=xln 2-2ln x.

则f(4)=0.

对f(x)求导，得f’(x) =ln 2-2x=ln 42-2x.

因为x>4，所以f’(x)>ln e2-24=12-12=0.

那么f(x)在区间(4,+∞)上是增函数，所以f(x)>f(4)=0.

所以xln 2-2ln x>0，即xln 2>2ln x.

所以2x>x2.

故原不等式成立.

点评：两边取对数实属常用方法，但在这里却大显神威，可谓“四两拨千斤”.当不等式形式比较复杂时，可考虑先对不等式加以等价转化，然后根据情况构造辅助函数，故我们称此法为“转化构造法”，简称“转化法”.

3.公式法构造函数

例4 若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf’(x)>－f(x) 恒成立，常数a、b满足a>b，求证af(a)>bf(b).

证明：由已知xf’(x)+f(x)>0，

构造函数F(x)=xf(x).

则F’(x)=xf’(x)+f(x)>0.

从而F(x)在R上为增函数.

a>b，

F(a)>F(b)，即af(a)>bf(b).

点评：由条件移项后左边为xf’(x)+f(x)，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F(x)=xf(x)，求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf’(x)>f(x)，则移项后为xf’(x)-f(x)，要想到是一个商的导数的分子，平时解题应多注意总结.