向量内积公式的创新应用
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向量内积公式:a・b=|a|・|b|cosθ(其中θ为a与b的夹角),则|a・b|=|a|・|b|・|cosθ|.
根据－1≤cosθ≤1，可得不等关系式:
①a・b≤|a|・|b|(当且仅当a与b共线同向时，等号成立.以下同)
②|a・b|≤|a|・|b|; ③|a|≥|a・b||b|; ④|a・b|2≤|a|2・|b|2.
以上不等式能沟通“和”、“和的平方”、“平方和”，可操作性强，具有多种解题功能，为我们开辟了广阔的思维空间，提供了更多的创新机遇. 对于问题中直接或间接出现了“和”、“和的平方”、“平方和”的有关问题，若能观察题目结构特征，有针对性地、恰当地构造向量，往往会收到意想不到的效果，这样不仅有利于拓展我们的想像力，激发创新活力，而且有利于提高分析和解决问题的能力.
1 比较大小
例1 已知m、n、a、b、c、d∈R+且p=ab+cd，q=ma+nc・bm+dn，那么p,q的大小关系为().
（A） p≤q（B） p≥q
（C） p＜q （D） p,q大小不能确定
解：构造向量h=(ma,nc)，k=(bm,dn), 则h・k=ab+cd，
|h|=ma+nc,|k|=bm+dn,
由h・k≤|h|・|k|，得
ab+cd≤ma+nc・bm+dn,
即p≤q，故选（A）．
2 求值
例2 若锐角α、β满足cosα+cosβ－cos(α+β)=32,求sin(α+β)之值.
解：原条件式可化为(1－cosβ)cosα+sinβsinα=32－cosβ.
构造向量a=(1－cosβ,sinβ),
b=(cosα,sinα).
由|32－cosβ|=|a・b|≤|a|・|b|=
(1－cosβ)2+(sinβ)2,
两边平方，并整理得(cosβ－12)2≤0，
于是cosβ=12，故锐角β=π3.
同理可得α=π3.
所以 sin(α+β)=sin2π3=32.
例3 已知sinα+sin(α+β)+cos(α+β)=3，β∈［π4,π］，求β之值.
解：原条件式可化为(1+cosβ－sinβ)sinα+(sinβ+cosβ)cosα=3,
构造向量a=(1+cosβ－sinβ,sinβ+cosβ),b=(sinα,cosα).
由3=a・b≤|a|・|b|=
(1+cosβ－sinβ)2+(sinβ+cosβ)2,
两边平方,并整理得 cosβ≥sinβ,
又β∈［π4,π］, 所以 β=π4.
3 解方程或方程组
例4 解方程3+2sin2x+3+2cos2x=4.
解：构造向量 a=(1,1),
b=(3+2sin2x,3+2cos2x),
则 4=3+2sin2x+3+2cos2x=
a・b≤|a|・|b|=
2・(3+2sin2x)+(3+2cos2x)=
2・22=4．
可见a=（1，1）与b=（3+2sin2x,3+2cos2x)共线同向，
所以 3+2sin2x=3+2cos2x，
解得 x=kπ±π4．
例5 求方程组x2+y2=3x2+4+y2+1=4 的实根.
解：构造向量a=(1,1)，
b=(x2+4,y2+1),
则 4=x2+4+y2+1=
a・b≤|a|・|b|=2・x2+y2+5=
2・8=4,
可见a与b共线同向, 所以 原方程组等价于x2+y2=3x2+4=y2+1 .
解得x=0y=3 或x=0y=－3 .
4 求最值或值域
例6求函数y=23x+6+528－2x的最大值.
解：由原函数得
y=23・x+2+52・14－x.
构造向量a=(23,52)，
b=(x+2,14－x),
则|a|=62,|b|=(x+2)+(14－x)=4,
由a・b≤|a|・|b|，得
y=a・b≤462()
由14－xx+2=5223，解得x=3431.
当x=3431时, a与b共线同向, 所以()式等号成立，故ymax=462.
例7 求函数y=2sinx+3cosx－4cosx－2的值域.
解：由原函数得2sinx+(3－y)cosx=4－2y,
构造向量a=(2,3－y),b=(sinx,cosx),
则|4－2y|=|a・b|≤|a|・|b|=4+(3－y)2，解得13≤y≤3.
5 证明不等式
例8设任意实数x,y满足|x|
证明：构造向量a=(11－x2,11－y2)，
b=(1－x2,1－y2).
由(a・b)2≤|a|2・|b|2,得4≤(11－x2+11－y2)(1－x2+1－y2),
所以11－x2+11－y2≥42－(x2+y2)≥42－2xy=21－xy,
即11－x2+11－y2≥21－xy.
当x=y时，上面各式等号成立，故原不等式得证.
6 求参数的取值范围
例9 问实数p在什么范围内取值，关于x,y的方程组p+x+y=1p2+x2+y2=1 有实数解.
解：由已知得x+y=1－px2+y2=1－p2 .
构造向量m=(x,y),n=(1,1), 则|m|=x2+y2,|n|=2,
由|m・n|≤|m|・|n|，
得 |x+y|≤2・x2+y2,
即|1－p|≤2・1－p2, 两边平方并整理得3p2－2p－1≤0，解得－13≤p≤1.
7 解探索性问题
例10 是否存在正整数a，使得方程组x2+y2=2yax－y+2a=0 有实数解？若存在，找出所有a；若不存在，试说明理由.
解：由x2+y2=2yax－y+2a=0 ，
得x2+(1－y)2=1ax+(1－y)=1－2a .
构造向量m=(a,1),n=(x,1－y), 则
|m|=a2+1,
|n|=x2+(1－y)2=1.
由|m・n|≤|m|・|n|，
得 |1－2a|≤a2+1，
解得0≤a≤43,
故存在正整数a=1，使得方程组有实数解.
综上，不难看出，许多能用“重要不等式(a+b2)2≤a2+b22”、“三角方程asinx+bcosx=c有解条件”或“柯西不等式”解决的问题，都可用向量法解决，且能绕过复杂的配凑技巧，往往可操作性更强，解答过程直观又容易接受.重视向量内积公式的创新应用，无论对教师和学生都是极其有利的.
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