横向数学化
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身居教学一线的周洪兆老师通过对30节数学课的调研，发现目前高中生数学学习方式现状表现为：强调多样性而缺少实效性，重视先进性而缺少科学性，重视主体性而缺少主导性三种形态[1]。其调研结果显示，目前数学教学的方式仍以被动的接受式学习为主，这与笔者的调查结果相似。学生的数学学习方式仍不理想，主要表现为自主学习的意识与能力薄弱，数学阅读观念淡薄，探究交流还未受到重视[2]。究其根本原因，作者认为是因循守旧、重本轻人（即生本意识不强）与忽视情感三方面。对此观点，笔者表示赞同之余不禁反思：是什么原因导致教师不敢突破封闭的课堂教学模式而开放自己的课堂呢？为什么不放心将学习的任务交给学生自主地探究呢？笔者认为，还得从教师对数学化的理解去研究。数学具有自然形态、学术形态与教育形态三种形态。作为教学任务的数学知识是经过精心挑选且经过教育学与心理学的加工之后，才能进入课堂的。也就是说，“用教材教，而不是教教材”，教师在面对数学教材时，除了要有自己的独特见解，还得有再加工的过程。如何重新审视教材呢？笔者认为，用数学化的思想，即用数学的眼光观察、用数学的思维思考。
二、横向数学化的来由、含义及功能
数学化思想是荷兰著名数学教育家汉斯・弗赖登塔尔于1973年在《作为教育任务的数学》一书中首次提出的。该书的基本教育主张是数学应该属于所有的人，我们必须把数学教给他们。但他又提出，每一个受教育者都是带着自己独特的数学现实来学习数学的，这里的数学现实是指人们利用数学概念和数学方法对客观事物认识的总体，其中既含有客观世界的现实情况，也包含受教育者使用自己的数学能力观察这些客观事物所获得的认识，即包括客观世界与学生的数学知识及数学经验两个方面。数学现实是一种影响学生接受能力的约束力，在教学实践中，为了使所有学生都学到与其经验和能力相适应的数学，就需采取数学化的方式，即数学地组织现实世界。后来，Treffers和Goffree进一步将其分为水平方向的数学化与垂直方向的数学化两种，也称之为横向数学化和纵向数学化。一般来说，横向数学化可以理解为是某一个问题朝着水平方向的扩展，例如，将一个现实问题转化为数学问题等；纵向数学化，可以理解为是某一个问题向垂直方向的深入，例如，由特例经推广而建立一般的公式等[3]。在实际教学中，横向与纵向并不总是分明的。横向数学化教育功能主要包括：
（一）横向数学化注重实践活动，它是改善学生数学学习方式的重要挈机
反思以往的数学学习，几乎等同于数学解题。数学解题固然重要，但不能把解题当作数学学习的唯一方式。首先数学问题从哪里来？通过解题习得的思维形式训练今后又有多大的用处？从学生终身学习与发展的角度来看，真正专门应用数学解决问题的人毕竟是少数，而在日常工作与生活中，几乎人人都要遇到需要用数学来解决的问题，因此，学生在学习数学知识与技能、接受初步的数学应用训练的同时，应着重发展数学的意识，使他们处处都能找到运用数学的机会。横向数学化更多地将实际问题数学化，从真实世界走向符号世界，将非数学事物数学化。这一思想不仅仅体现在新课标理念中，模块课程的数学教材编写更是实实在在地反映了这一特点，以生活现象为题、以知识内容为核、以认识逻辑为序（归纳法：具体到抽象），为横向数学化的学习提供了现成的材料与机遇。学生被置于所给的现实情境之中，首先经过观察确定情境问题中包含的数学成分。其次，结合学生自身的知识与经验（即其数学现实的一部分），通过试验、类比甚至猜测感觉或探索其中蕴含的数学规律，或建立数学成分与已知的数学模型之间的联系，并将其用数学符号表示出来，建立起学习材料与数学事实之间的本质的、非人为的联系，这不仅为有意义学习迈出了关键的一步，也理清了问题的出处。事实上，提出问题是数学学习的重要组成部分，更是数学创造的出发点。最后，经过推理得出结果。结果可以分为数学事实的产生与数学模型的建立两种（如基本的数学概念、法则与定理），结果的公式化和形象化，既体现了数学发生的过程，也展示了学生自我。另外，在学习一个数学事实时，往往要从不同的视角去审视、分析，使学习者的认识更加深刻、全面，从而使得它在不同的情境中也能够被迅速准确地辨认出来，并在遇到合适的条件时能够顺利地得到迁移应用。这时的数学知识就转化为学生的数学现实。这样的数学学习方式是丰富的、现实的、探究性的，既可以是自主性的也可以是合作性的，学生经历了数学知识的发现、发生和发展的过程，为以后的“数学建模”、“数学探究”等专门的学习活动积累了经验，丰富了自身的数学现实。
（二）横向数学化的学习使得数学充满了联系，使数学学习具有再创造的特点
弗赖登塔尔的另一个观点是关于数学教学方法的，他认为数学的教与学必须是“再创造”的，并将其解释为“将数学作为一种活动来进行解释和分析，建立在这一基础上的教学方法，我称之为再创造方法”[4]。这种解释与分析受到学习者自身的数学现实的约束，所得到的结论必须经过学习者的头脑，对学习者来说完全是新创造的。这样的数学学习方式沟通了现实客观世界、学生的经验或数学现实与数学事实三者的联系，使得数学对于学习者来说不是孤立的，而是充满了联系的。同时，在这一过程中，学习者借助于操作游戏来演示明显的数学特征，也迎合了人的游戏本性，使学生感到学习数学本身就是一种生活。
三、横向数学化的强化：转变高中生数学学习方式的有效途径
（一）对“变‘黑白教学’为‘多媒体教学’”的再思考
培养学生学会学习、促进学生学习方式的转变，是新课程改革的关键。但学习方式所提供的只是一个大致的教学框架与核心的理念，至于具体的使用则要依据不同教学内容而使其具有高度的情境化和个性化特征。变“黑白教学”为“多媒体教学”只是对某些特定的数学内容（尤其是解析几何中点的轨迹的生成与立体几何图形的绘画）而言，与过去的黑板加粉笔的教学手段相比，更加直观化、动态化与形象化，能够克服手工制图的粗糙性与静态化，从而具有更高的精确性与动态性，能将结果的生成过程清晰地展示出来，但并不是所有的教学内容都需要多媒体，过多的形象化刺激反而会影响抽象思维的发展，尤其是在纵向数学化的过程中有一些弱抽象的问题。这类型问题本身是在数学范畴之内对已经符号化了的问题做进一步抽象化处理以形成新的数学概念、或推广建立起一般化的理论。那么，在解决这些数学问题时，恐怕会淡化教学形式，更加注重对问题本身的思索、假设与论证了，而且，随着年级的升高，这种现象会越来越明显。所以，笔者认为，“黑白教学”也好，“多媒体教学”也好，只是延伸教学的手段，对学生学习方式的性质并不是关键的原因，关键的原因在于学生对数学化的经历。
（二）对“变‘灌溉教学’为‘参与教学’”的再思考
学生的学习内容主要是挑选出来的前人积累的且经过教学法加工过的间接经验，在传统的数学教学中，通常采用被动接受、强调储存与强化训练的教学方式，加之讲授法具有在短时间内能传递大量信息的优点，讲授法便顺理成章地成为数学教学的首选方式。在这种重结果轻过程的教学中，结果的生成过程往往被单调机械的条文所取代，学生的数学学习方式中充满了太多的机械、沉闷和程式化，缺乏生气、乐趣和对好奇心的刺激，因而，学生在数学学习活动中不能也不允许有自我表现，这样的教育是背离和谐教育主旨的。这样做容易造成被动的、接受的、封闭式的学习方式，使学生的主体性受到忽视，久而久之，学习的兴趣很难持续，学习的结果也是模仿大于发现创造，难以形成适应科学时代的思维品质。因此，新课标指出“要从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，“使学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流”[5]，这一理念不仅从内容上强调了过程，不仅与学生的自我表现紧密相连，而且使学生的探索经历和得出新发现的体验成为数学学习的主要途径，所以，学生有效的数学学习过程应该是建立在原有数学现实基础上的一个主动建构的过程，是一个充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动，是富有个性、体现多样化学习需求的过程。当前的课程改革正努力实现从被动的、接受的、封闭的学习方式到主动的、发现的、合作的学习方式转换，提倡自主探索、动手实践、合作交流、数学阅读等应该成为学生数学学习的主要模式。在这些学习方式中，学生完全参与到整个教学当中，不再是旁观者。所以，笔者在赞同变“灌溉教学”为“参与教学”观点之余，希望这一观点能变为理念扎根于教学实践中，而不是表面上的热闹。
（三）对“变‘书本数学’为‘生活数学’”的再思考
学生的数学学习世界应包含三方面：外在客观的生活世界、学生先前的知识与经验世界与“第三世界”（即数学文化-符号世界）三部分，只有能将这三个世界联系起来的学习才是有意义的学习[1]。建构主义观点对后两个方面的联系关注得多一些，而横向数学化则将借助于第二方面将第一方面和第三方面联系起来，是一种有意义的学习方式。高中数学课程标准已充分注意到这一点，并强调“数学教学活动应是学生经历‘数学化’、‘再创造’的过程”[6]。现实中，学生并不缺乏生活中的数学，难就难在从小就不会将生活数学抽象为形式化与模式化的数学。下面是一位小学数学教师与一位小学生的对话：
老师在批阅前一天的家庭作业时，发现有这么一道题：“52型拖拉机一天耕地150亩，问10天能耕地多少亩？”这位小学生列出了如下的式子：“52×150×10。”老师感到不解，问：“你为什么这样列？”学生很紧张，低着头说：“老师，我错了。”老师又问：“正确的该如何列？”学生答“用除法。”老师追问：“为什么？”学生支支吾吾地说道：“老师，我错了，用加法。”老师明白了，他根本就不明白自己所列式子的理由，不能再往下问了，再问该说用减法了。于是，老师企图抛砖引玉地换个生活中例子启发他：“假如你每天早晨吃2个饼子，那么，5天吃几个？”“老师，我早晨不吃饼子。”“吃什么？”“吃粽子。”“好，那就说吃粽子吧，假如你每天早晨吃2个粽子，那么，5天吃几个？”“老师，我吃不了2个。”“那你能吃几个？”“半个。”“哦，那5天吃几个？”“2个半。”于是，老师终于找到能把他引到乘法上的道了…
看来，学生不是没能力理解乘法，只是没有使数学充满联系，确切地说，是没有找到恰当的从生活数学到抽象化的模式数学的方式，而这恰恰是横向数学化的优势，所以，加强横向数学化的教与学，尤其是在低学段的教学中，“数学要与学生们的生活实践联系得紧一点，直观多一点，动手实验的多一点，使他们的兴趣高一点，自信心强一点”[6]。横向数学化是一种有意义的教学方法和数学学习方式，并以此作为对变“书本数学”为“生活数学”的进一步思考。
参考文献：
[1]周洪兆.转变高中生数学学习方式的思考[J].教学与管理:2010，(12):89-90.
[2]田果萍，张生平，赵霞.高中生数学学习方式的调查与分析[J].教学与管理:2010，(9):52-53.
[3]綦春霞.数学课程论与数学课程教材改革[M].北京：北京师范大学出版社，2001：27.
[4][荷兰]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平,唐瑞芬编译.上海：上海教育出版社，1999：124,59,111.
[5]刘兼，孙晓天.全日制义务教育数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2003：66.
[6]严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004：300.
（作者单位：大同大学数学与计算机科学学院，山西,大同 037009）