因式分解中考考点

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因式分解是中考数学的一个重要考点，纵观2012年全国各地的中考数学试卷，考查因式分解的试题主要有以下几类：

一、因式分解的意义和有关概念

例1 （安徽省）下面的多项式中，能因式分解的是（ ）

A.m2+n B.m2-m+1

C.m2-n D.m2-2m+1

解析 根据分解因式的方法，首先是提公因式，然后考虑用公式，如果项数较多，要分组分解，本题给出四个选项，对照选项中的多项式，试用所学的方法进行因式分解。因为m2-2m+1=（m-1）2，故答案选D。

点评 在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式。）

例2 （浙江省温州市）把多项式a2-4a分解因式，结果正确的是（ ）

A.a（a-4） B.（a+2）（a-2）

C.a（a+2）（a-2） D.（a-2）2-4

解析 多项式中有公因式a，提取公因式后得a2-4a=a（a-4）。故答案选A。

点评 分解因式按“一提二套”原则：有公因式的要先提取公因式，然后再考虑运用平方差公式或完全平方公式进行分解。最后要分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

二、因式分解的方法

1．提公因式法

例3 （北京市）分解因式：mn2+6mn+9m=_________。

解析 原式=m（n2+6n+9）=m（n+3）2。

点评 本题考查了提公因式及完全平方公式。

例4 （四川省成都市）分解因式：x2-5x=________。

解析 本题只有两项，所以只能用提取公因式法。通过观察可知有公因式x，提取公因式，分解为x（x-5）。

点评 公因式的确定方法是：系数是各项系数的最大公约数，字母是各项共有的字母，指数取最小值。

2．公式法

例5 （福建省福州市）分解因式：x2-16=________。

解析 直接用平方差公式将因式分解。原式=（x+4）（x-4）。

点评 等式变形是代数计算中的一个重要组成部分，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是进行代数变形的基本能力。

3．综合法

例6 （山东省临沂市）分解因式a-6ab+9ab2=__________。

解析 先提公因式得，a-6ab+9ab2=a（1+6b+9b2）；再利用完全平方式得，

a（1-6b+9b2）=a（1-3b）2，故a-6ab+9ab2=a（1-3b）2。

点评 本题考查了提公因式法、公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方式进行二次分解，注意分解要彻底。

例7 （四川省南充市）分解因式：x2-4x-12=________。

解析 对于x2+（a+b）x+ab型二次三项式的因式分解，只要把常数项分解成两个因数的积，而一次项系数正好等于这两个因数的和，那么就可以把它分解成（x+a）（x+b）。答案填（x+2）（x-6）。

点评 对于二次三项式，根据其特点一般可以分别采用配方、分项或根据x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）分解因式。本题x2-4x-12不是完全平方式，不能直接使用公式法进行分解。

三、有关因式分解的开放题

例8 （湖南省益阳市）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：________。

解析 凡是形如a2-b2形式的多项式，都能用平方差公式分解因式，根据平方差公式就可以任意写出一个答案了，本题答案不唯一，如x2-1等。

点评 本题考查对平方差公式的记忆和应用，主要是形式的应用，体现了数学的形式不变性，属于开放性题型。

四、 因式分解的应用

例9 （江苏省苏州市）若a=2，a+b=3，则a2+ab=________。

解析 利用提公因式法进行因式分解，然后把a=2，a+b=3代入即可。

因为a=2，a+b=3，所以a2+ab=a（a+b）

=2×3=6。

点评 本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法把a2+ab进行因式分解是解题的关键。

例10 （ 四川省宜宾市）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y的值为_______。

解析 先根据题意把P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2分别代入3P-2Q=7中，再合并同类项，然后提取公因式，即可求出y的值。

因为P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，

所以3P-2Q=3（3xy-8x+1）-2（x-2xy-2）=7恒成立，

所以9xy-24x+3-2x+4xy+4=7，

化简得13xy-26x=0，13x（y-2）=0，

因为x≠0，所以y-2=0，解得y=2。

点评 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是把条件中的式子进行整理，然后提取公因式。