平面正交各向异性体材料参数识别的新方法
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摘要： 为有效确定平面正交各向异性体的材料参数，提出一种基于比例边界有限元法（Scaled Boundary Finite Element Method，SBFEM）和混合粒子群算法的识别方法.该方法以测量位移与SBFEM计算相应的位移之差的平方和最小为基础，采用粒子群优化（Particle Swarm Optimization， PSO）算法全局搜索材料参数.为加快收敛速度和提高反演识别精度，在PSO算法中引入自然选择的机制.采用SBFEM进行正分析问题计算时，只需对计算域边界进行数值离散，大大减少计算量.相对于边界元法，SBFEM不需要基本解.数值算例表明所提出的方法有效.
关键词： 平面正交各向异性体； 比例边界有限元法； 反分析方法； 粒子群优化算法
中图分类号： O343 文献标志码： A
New method for identifying material parameters of
plane orthotropic bodies
CHEN Shenshen， LI Qinghua， CHEN Haitao
（College of Civil Engineering， Hunan University of Technology， Zhuzhou 412007， Hunan， China）
Abstract： To determine the material parameters of plane orthotropic bodies effectively， a new identification method is proposed by combining the Scaled Boundary Finite Element Method（SBFEM） with the hybrid particle swarm algorithm. The method is based on the minimization of the square sum of differences between the measured displacements and those calculated by SBFEM. The global search of material parameters is implemented by the Particle Swarm Optimization （PSO） algorithm. To speed up the convergence rate and enhance inverse identification precision， the natural selection mechanism is introduced into the PSO algorithm. The direct problems are solved by the SBFEM， which only requires the boundary of the problem to be discretized and therefore reduces the computational cost greatly. However， compared with the boundary element method， SBFEM requires no fundamental solution. The results of the numerical examples show that the proposed method is effective.
Key words： plane orthotropic body； scaled boundary finite element method； inverse method； particle swarm optimization algorithm
收稿日期： 2013-05-02 修回日期： 2013-06-10
基金项目： 国家自然科学基金（11002054）
作者简介： 陈莘莘（1975—），男，江西赣州人，副教授，博士，研究方向为计算力学及其工程应用，（E-mail）.cn
0 引 言
准确的正交各向异性复合材料结构性能参数信息，对复合材料结构的力学行为分析以及强度评价至关重要.随着计算机技术的飞速发展，采用仿真结合试验的反分析方法不失为获取这些材料参数的有效途径.[1-3]
反分析问题求解需反复迭代，多次进行正分析问题计算，因此正分析数值方法的选择十分关键.WOLF等[4-5]率先提出和发展起来的比例边界有限元法（Scaled Boundary Finite Element Method， SBFEM），综合有限元法和边界元法的优点，仅需用有限元离散部分边界即可将问题降低一维，大大减少计算工作量.相对于边界元法，SBFEM不需要基本解，也不涉及奇异积分的处理，具有较高的计算精度.目前，这种方法已被广泛应用于求解断裂力学[6-7]、结构与地基的动力相互作用[8-9]以及静电场问题[10]等.本文将SBFEM应用于正分析问题的计算.
材料参数的估计值由优化方法搜寻得到.目前，大多数文献都采用传统的基于梯度的优化方法，如LM（Levenberg-Marquardt）法等.基于梯度的优化方法存在结果较大程度上依赖于初值的选取、难以进行多参数优化以及优化结果易陷入局部极值等缺点.[11-12]因此，为更有效地进行反演分析研究，有必要寻求更好的优化方法.
近些年发展起来的粒子群优化（Particle Swarm Optimization， PSO）算法通过群体中各个粒子间的合作与竞争而产生群体智能指导优化搜索，具有计算简单、不需要目标函数可微和连续以及收敛性能好等优点.[13-14]本文首先在PSO算法中引入自然选择的机制，进一步增强全局搜索能力[15]，然后将其与SBFEM相结合，构建识别正交各向异性体材料参数的新方法；实例计算分析表明，采用本文方法识别正交各向异性体材料参数行之有效.
1 正交各向异性材料应力-应变关系
当正交各向异性平面问题材料主轴与1-2坐标系的坐标轴重合时，平面应力问题的弹性本构关系可表示为σ=Dε（1）式中：D=S-1，为3×3的刚度矩阵.柔度矩阵S可由柔度系数sij表示为S=s11s120
s21s220
00s66（2）由于柔度系数的对称性，即s12=s21，因此只有4个独立的柔度系数，即s11，s22，s12和s66.
式（1）中的应力σ与应变ε可分别用向量形式表示为σ=[σ11σ22τ12]T
ε=[ε11ε22γ12]T（3）
2 正分析的比例边界有限元法
在SBFEM中，需要建立包括径向坐标ξ和环向坐标η的坐标系统，见图1.
图 1 比例边界坐标定义
Fig.1 Definition of scaled boundary coordinates
比例中心O的选择很重要，要求从其可以看到域边界的所有点.对于更复杂的区域，可将该区域分成若干个子域，每个子域内都设置自己的比例中心.对于有限域问题，径向坐标ξ值从中心处为0到边界上为1变动.比例边界坐标（ξ，η）与笛卡尔坐标（x^，y^）的关系为x^=x^0+ξx（η）
y^=y^0+ξy（η）（4）式中：（x^0，y^0）为比例中心；（x（η），y（η））为边界上任意点坐标；（，）为域内点坐标.
在SBFEM中，域内任意点（ξ，η）处的位移可近似表达为u（ξ，η）=N（η）u（ξ）（5）式中：N（η）为环向的形函数矩阵；u（ξ）为径向位移函数.
对于二维静力学问题，比例边界有限元控制方程[4-5]可表达为P=E0u（ξ），ξ+ET1u（ξ）ξ=1（6）E0ξ2u（ξ），ξξ+（E0+ET1-E1）ξu（ξ），ξ-E2u（ξ）=0（7）式中：P为等效边界节点力向量；E0，E1和E2为依赖于子域几何形状和材料参数的系数矩阵，由子域边界上各单元系数矩阵按有限元方式组装得到，E0=∫+1-1B1（η）TDB1（η）Jdη（8）E1=∫+1-1B2（η）TDB1（η）Jdη（9）
E2=∫+1-1B2（η）TDB2（η）Jdη（10）式中：J为雅可比矩阵的行列式，J=x（η）y（η），η-y（η）x（η），η（11）B1（η）和B2（η）为描述应变-位移关系的矩阵，
B1（η）=1Jy（η），η0
0-x（η），η
-x（η），ηy（η），ηN（η）（12）
B2（η）=1J-y（η）0
0x（η）
x（η）-y（η）N（η），η（13）
式（7）为2阶Euler-Cauchy齐次方程，可以求解析解.为便于求解，引入新变量X（ξ）和哈密顿矩阵Z，X（ξ）=u（ξ）
Q（ξ）（14）
Z=E-10ET1-E-10
E1E-10ET1-E2-E1E-10（15）将式（7）转化为1阶常微分方程，得ξX（ξ），ξ=-ZX（ξ）（16）在式（14）中，Q（ξ）为u（ξ）的对偶变量，即Q（ξ）=E0ξu（ξ），ξ+ET1u（ξ）（17） 为求解式（16），首先求解Z的特征值，
ZΦ11Φ12
Φ21Φ22=Φ11Φ12
Φ21Φ22-λi0
0λi（18）
式中：λi为特征值对角矩阵；Φ11，Φ12，Φ21和Φ22均为特征向量矩阵.
进一步可得u（ξ）=Φ11ξ-λic1+Φ12ξλic2（19）
Q（ξ）=Φ21ξ-λic1+Φ22ξλic2（20）式中：c1和c2均为积分常数.
对于有限域问题，在ξ=0处取有限值，λi的实部为负，因此c2=0.式（19）和（20）进一步简化为u（ξ）=Φ11ξ-λic1（21）
Q（ξ）=Φ21ξ-λic1（22） 在式（21）和（22）中消去c1，并由式（6）可得P=Φ21Φ-111u=Kbu（23）式中：u为边界节点位移，可在引入位移约束条件后由式（23）计算得到.
边界上其他位置的位移可进一步通过插值的方式求得，计算域内的位移则可以通过径向解析求得.
3 正交各向异性平面问题材料参数识别算法3.1 目标函数
材料参数识别问题可归结为调整识别的材料参数s=（s11，s22，s12，s66）T，直到一定参数的计算位移与测量位移之差达到最小二乘最小，目标函数可定义为f（s）=ni=1（ui（s）-u-i）2， n≥m（24）式中：ui（s）为比例边界有限元计算的位移；u-i为测量的位移；n为测量位移的数量；m为识别材料参数的数量.
3.2 PSO算法
PSO算法的原理是模拟鸟群飞行觅食的行为，通过鸟群之间的集体协作，使群体达到最优.在PSO算法中，每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟，称为粒子；所有粒子都有一个由目标函数决定的适应值，每个粒子还有一个速度决定它们飞行的方向和距离.粒子们知道自己到目前为止发现的最好位置和现在的位置，这个可以看作是粒子自己的飞行经验；每个粒子还知道到目前为止整个群体中所有粒子发现的最好位置，这个可以看作是粒子同伴的经验.每个粒子根据如下公式更新自己的速度和位置[13-15]，vi，j（t+1）=wvi，j（t）+c1r1（pi，j-xi，j（t））+c2r2（pg，j-xi，j（t））（25）xi，j（t+1）=xi，j（t）+vi，j（t+1）（26）式中：j表示粒子的第j维；i表示第i个粒子；t表示粒子进化代数；w为惯性权因子；c1和c2为学习因子；r1和r2为0～1均匀分布的随机数；pi，j表示第i个粒子所经历的最好位置的第j维分量；pg，j表示群体最好位置的第j维分量.
粒子通过不断学习更新，最终飞行至解空间中最优解所在的位置.在更新过程中，粒子的每一维坐标都被限制在根据先验信息设定的材料参数搜索范围内.此外，当粒子坐标不满足柔度系数的约束条件s11s22-s212>0时，由式（27），（28）或（29）之一调整粒子坐标，s11=s212s22（1+ε）（27）
s22=s212s11（1+ε）（28）
s12=s11s22（1-ε）， s12>0
-s11s22（1-ε）， s12
试验表明，PSO算法会出现早熟收敛现象.针对该问题，并为增强全局搜索能力，本文在每次迭代过程中将整个粒子群按适应值排序，用群体中最好的一半粒子速度和位置替换最差的一半的速度和位置，同时保留原来每个个体所记忆的历史最优值[15]，从而克服基本粒子群优化算法容易陷入局部最优解的缺点.
4 数值算例
为验证所提出的材料参数识别反分析方法的有效性，考虑一个受均布载荷作用的简支梁，坐标轴与材料的弹性主轴重合，简支梁示意见图2.梁长200 mm，高50 mm，厚1 mm，均布载荷P=10 N/mm2.
图 2 简支梁
Fig.2 Simply supported beam
硼环氧材料的材料参数值为s11=0.483 44×10-11 Pa-1，s22=0.483 33×10-10 Pa-1，s12=-0.145 03×10-11 Pa-1，s66=0.144 93×10-9 Pa-1.
本文取粒子数为20个，学习因子都取为1.496 2，惯性权重取0.729 8，迭代步数取200步.材料参数识别的搜索范围为
0.8×10-12 Pa-1≤s11≤0.3×10-10 Pa-1
0.8×10-11 Pa-1≤s22≤0.3×10-9 Pa-1
-0.7×10-11 Pa-1≤s12≤-0.3×10-12 Pa-1
0.3×10-10 Pa-1≤s66≤0.7×10-9 Pa-1
将比例中心选在简支梁中心，边界离散采用三节点单元，见图3.在识别过程中，材料参数取真值进行正问题的比例边界有限元计算，用得到的点1（-50 mm，-25 mm），点2（0，-25 mm）和点3（50 mm，-25 mm）的垂直位移与水平位移的计算值，模拟相应的测量位移值.算法运行20次，全都收敛到材料参数的真值.图4给出最优目标函数f=minf1，f2，…，f20随迭代次数的收敛过程.
图 3 简支梁的比例边界有限元网格划分
Fig.3 Finite element mesh of scaled boundary of
simply supported beam
图 4 目标函数随迭代次数的收敛过程
Fig.4 Objective function value versus number of iterations
5 结束语
将SBFEM与PSO算法相结合，提出识别正交各向异性平面问题材料参数的新方法.从算例分析可知，本文提出的方法具有较高的精度和较好的稳定性.
SBFEM作为一种新型的半解析数值方法，只需用有限元法对部分边界进行数值离散，即可实现将问题降低一维的目的，大大减少计算的工作量.相对于边界元法，SBFEM不需要基本解，也不涉及奇异积分的处理.因此，对于仅需布置若干测点和需要迭代计算的反分析问题，SBFEM非常有利.
PSO算法作为一种并行的全局性随机搜索算法，具有容易理解、操作简单以及不需要目标函数可微和连续等优点.自然选择机制的引入，进一步增强PSO算法的全局搜索能力.计算结果表明，采用PSO算法具有较高的精度和良好的数值稳定性.参考文献：
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