寻找射影点的妙招

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在教学实践中不难感到学生在作线面角或二面角的平面角时,找某一定点在某一面上的射影点是困扰学生的难点。在该问题中挖掘面面垂直比较抽象,但从线面垂直角度入手比较容易突破,本文从线面垂直角度阐述寻找射影点的一种方法。

首先先介绍解题的程序:先找射影面(即为“某一面”),线在射影面中找;再找垂面,垂面从线面垂直中呈现(要求垂面过定点);最后作出交上垂,射影点便生成。

实例演练:

例1.PA面ABC,BCAB,AB=3,BC=PA=4,求线PB与面PAC所成的角。

分析:本题解题的关键是寻找点B在面PAC上的射影点,由此可确定面PAC为射影面;通过已知不难看出面PAC中的线PA,PA面ABC,且B∈面ABC,所以面ABC即为垂面。而面ABC∩面PAC=AC,过B作BTAC,则BT面PAC,则T为B在面PAC上的射影,连PT,则∠BPT即为所求。

解:过B作BTAC,

PA面ABC,

PABT

又PA∩AC=A,BT面PAC,

T为B在面PAC上的射影,连PT,则∠BPT即为所求,

在RtBTP中:∠BTP=90°,BT=,PB=5,

sin∠BTP=,

∠BTP=arcsin,

线PB与面PAC所成的角为arcsin。

例2.正方体ABCD-ABCD的棱长为1,P是AD的中点,求二面角A-BD-P的大小。

分析:在二面角的两个半平面内,半平面DAB内存在线AB,AB面AADD,且P∈面AADD,由此可知:半平面DAB为射影面,平面AADD为垂面,而面DAB∩面AADD=AD,过P作PTAD,则T为P在面DAB上的射影。

解:过P作PTAD,

AB面AADD,

ABPT。

又AB∩AD=A,

PT面DAB。

过T作TKDB,由三垂线定理得:PKDB,

∠PKT即为二面角A-BD-P的平面角。

在RtKTP中:∠KTP=90°,PT=,PK=,所以sin∠TKP=。

所以:∠TKP=30°。

所以二面角A-BD-P为30°。

例3.如图:S为ABC所在平面外一点,SA面ABC,ABBC,设二面角S-BC-A大小为,SA=BC,求二面角A-SC-B大小。

分析:

思路一:由题可知:BC面SAB,

面SBC为射影面,面SAB为垂面,

而面SBC∩面SAB=SB,过A作AESB,

则AE面SBC,

E为A在面SBC内的射影。

思路二:由SA面ABC可知:面SAC为射影面,

面ABC为垂面,面SAC∩面ABC=AC,

过B作BEAC,则E为B在面SAC内的射影。

解法一:SA面ABC,

SABC,BCAB。

AB∩SA=A,

BC面SAB,

SBBC,

∠SBA即为二面角S-BC-A的平面角,

∠SBA=45°。

设SA=1,

则AB=BC=1。

过A作AESB,

又AECB,

AE面SBC。

过E作ETSC,连接AT,

由三垂线定理得:ATSC,

∠ATE即为二面角A-SC-B的平面角。

在RtAET中:∠ATE=90°,AE=,AT=,所以sin∠ATE=,所以∠ATE=60°,

所以二面角A-SC-B为60°。

解法二:SA面ABC,

SABC,BCAB。

AB∩SA=A,

BC面SAB,SBBC,

∠SBA即为二面角S-BC-A的平面角,

∠SBA=45°。

设SA=1,

则AB=BC=1。

过B作BEAC,

SA面ABC,

SABE。

又AB∩CA=A,

BE面SAC。

过E作ETSC,联接BT,则BTSC,

∠ETB即为二面角S-BC-A的平面角。

在RtAET中:∠BET=90°,BE=,BT=,所以sin∠BTE=,

所以∠ATE=60°。

所以二面角A-SC-B为60°。

此种方法不仅在处理有关找线面角、找二面角的平面角有很重要的作用,而且在一些距离求解上(比如:点到面的距离、点到线的距离)也是重要的方法来源。希望同学们能够认真阅读反复体会,学以致用,这对今后的做题定会有很大帮助。

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