例谈数形结合的思想方法在解题中的运用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇例谈数形结合的思想方法在解题中的运用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

数学思想是数学的灵魂，数学思想方法是解决数学问题的思维策略和钥匙。数学思想方法蕴含于数学知识之中，又相对超脱于某一个具体的数学知识之外。数学思想方法的教学比单纯的数学知识教学困难得多。因为数学思想方法是具体数学知识的本质和内在联系的反映，具有一定的抽象性和概括性，它强调的是一种意识和观念。常用的数学思想方法主要有转化与化归的思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、函数与方程的思想方法和建模的思想方法等。其中，数形结合的思想方法运用尤为广泛。这是因为数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，故研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是代数式、函数、不等式等表达式，“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间本质上的联系，以形直观地表达数，以数精确地研究形。“数无形时不直观，形无数时难入微。”数形结合是研究数学问题的重要思想方法，它能有效地将形象思维过渡到抽象思维。下面，略举数例，谈谈数形结合的思想方法在几何解题中的运用。

一、挖掘内在联系，找准结合点

运用数形结合的思想方法，关键在于立足题例，悉心观察，深入思考，严谨分析，反复推敲，准确找到“数”与“形”的最佳结合点。在运用数形结合思想方法的过程中，常用的结合点甚多。其中，笔者有感于如下两点。

1.在数形结合中利用曲线的定义

在圆锥曲线中，圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义揭示了动点在运动中与定点（定直线）所保持的特定关系。这种特定关系正是“数”与“形”的最佳结合点之一。在解题中，须善用之。

例如，已知A（ ，0），B是圆F：

上的一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P。求动点P的轨迹方程。

分析（图略）：由线段AB的垂直平分线易想到连接A、P，势必有PA=PB，于是PA+PF=FB，而FB是圆F的半径（定值），

且圆心F（ ，0）与点A（ ，0）均为定点。这些，正好

符合椭圆的定义。由A点、F点的坐标可知，动点P的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆。故可用定义法解之，一举奏效。此题，若设动点P的坐标，按常法――“轨迹法”解之，则既难且繁，然而，解题者却极易步入此道。因此，我们务必加强数形结合的思想意识。2.在数形结合中利用曲线与方程的关系

曲线与方程的关系是“数”与“形”的结合点之一。其通常用法是：曲线上的点的坐标必然适合于曲线的方程。若点的坐标含有未知数，则把点的坐标代入曲线方程，旨在利用曲线与方程的关系建立新的方程，解决问题。这较之利用其它等量关系建立方程更为简捷。

例如，如图，已知P（3a，a）是反比例函数 （k>0）

与o的一个交点，图中阴影部分的面积为10∏，求该反比例函数式。

分析：图中阴影部分的面积正好是o面积的 ，所以o面积为40∏。因为点P（3a，a）既在双曲线上又在圆上，其坐标必然分别适合于它们的方程，故可建立新的方程（组），以求k之值。

简述：点P（3a，a）在反比例函数 （k>0）

的图象上， ， ，40∏=∏ ，

=40，o的方程为 ，

点P（3a，a）在o上， ， ，

故该反比例函数式为

二、摆脱思维定势，力避局限性

值得注意的是，数形结合的思想方法在运用中，有其局限性，不可泛用和滥用，有时则须摆脱其思维定势的影响，另辟新径。否则，极易步入歧途，自找麻烦，甚至无功而返。例如，下面的一道组合式几何题，第一小题，用数形结合的思想方法，不难解之，但第二小题若用数形结合的思想方法，则障碍重重，特别是第二问，更是多方设形，难以奏效。但如若采用三角函数与不等式的计算方法，则既易且简，水到渠成。其为――

已知菱形ABCD的边长为6，且∠B=60°，现有两动点P、Q均以1单位s的速度分别从D、C同时出发，点P沿射线DC运动，点Q沿折线CBA运动，当Q到达A点时运动停止，设运动时间为t

（1）当Q在边CB上时（不与B、C重合），试判断APQ的形状。

分析（图略）：要判断APQ的形状，则须考察其三边是否彼此相等。一般是利用三角形全等的性质解决问题。于是，连接A、C，考察ABQ与ACP是否全等，继而进一步探索，APQ是否是等边三角形。

简述：连接A、C，由菱形得性质易知∠BCA=∠PCA=60°，可知ABC是等边三角形，AB=AC，∠B=∠PCA，又易知BQ=CP，ABQ≌ACP，AQ=AP，∠BAQ=∠CAP，又易知∠BAC=60°，∠PAQ=60°，故APQ是等边三角形。

（2）当点Q在BC边上时（不与B、C重合），求CPQ周长的最小值及CPQ面积的最大值。

①求CPQ周长的最小值

分析（图略）：由于易知QC+CP=6（定值），所以PQ最小时，其周长的值最小。如果从“形”入手，则估计这时P、Q分别为DC、CB的中点，记为M、N，于是作AQP与ANM，由于AQP形成的瞬时性，则只须证明PQ>MN即可。由前面（1）中的结论知，AQP与ANM均为等边三角形，PQ=AP，AM=MN，易知ACD是等边三角形，可知AMCD，AP>AM，故PQ>MN，然后再计算之。这里，图形从略。但此法实乃不易。由于∠C=120°，故应摆脱数形结合思维定势的影响，用余弦定理解之，则事半而功倍。

简述：设CP=a，QC=b，易知a+b=6（定值），由余弦定理可得：

， 又a+b=6（定值），且a>0， b>0， 由一个重要不等式知，当a=b时，ab最大，这时，PQ最小，CPQ的周长也最小。由a=b=3得 ， ，故CPQ周长的最小值为 。

②求CPQ面积的最大值

分析：只要不拘泥于从“形”入手，试图比较图形面积的

大小，则易想到直接利用三角形的面积公式S= absinC进行

计算了。至此，势必豁然开朗，茅塞顿开。

简述：设CP=a，QC=b，易知a+b=6（定值），则SCPQ=

，又a+b=6（定值），且a>0，b>0，

由一个重要不等式知，当a=b时，ab最大，这时，CPQ

的面积也最大。由a=b=3计算得CPQ面积的最大值为 。