一元二次方程根的分布在解析几何中的应用

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在圆锥曲线与直线的位置关系中，由于双曲线的图像特征，双曲线与直线的位置关系就成为考试的热点与难点。下面，我结合课本上的一道习题通过分类思想，把握重点，突破难点，使同学们全面了解直线与双曲线的各种位置关系，特别是利用一元二次方程根的分布知识解决公共点的问题。

例：若直线y=kx-2与双曲线x2-y2=2没有公共点，求实数k的取值范围。

分析：直线y=kx-2存在斜率k，而且过定点（0，-2）。为求双曲线与直线无公共点，只需使y=kx-2与双曲线x2-y2=2联立的方程组无实数解，来体现平面解析几何的特点，即转化为一元二次方程的解与两曲线交点个数的对立统一思想。

解：联立方程组y=kx-2x2-y2=2消y得： （1-k2） x2+4kx-6=0（*）

若使直线y=kx-2与x2-y2=2无交点

则方程（*）无解 1-k2≠016k2+24（1-k2）＜0

解得k＞■或k＜-■。

当k＞■或k＜-■时，直线y=kx-2与x2-y2=2没有公共点。

思维迁移一：若直线y=kx-2与x2-y2=2仅有一个公共点，如何求k的取值范围。

分析：依题意可知，若使直线y=kx-2与x2-y2=2仅有一个公共点，保证（*）式仅有唯一解即可，考虑到（*）式既有可能是二次方程，也有可能是一次方程，所以应采用分类讨论来解决。

解：（1）若1-k2=0时k=±1，这时两曲线的交点只有一个。

（2）若1-k2≠0时，（*）式是一元二次方程

当Δ=0时，即k=±■时，两曲线也仅有唯一交点。

综上所述，当k=±1或±■时，y=kx-2与x2-y2=2仅有一个公共点。

点评：本题中的k=±1时，实质是y=kx-2与两条渐近线分别平行时只与一支有一交点的情况，而当k=±■是直线y=kx-2与双曲线相切时的两条切线（与一支相切，另一支无交点。）。

思维迁移二：若直线y=kx-2与x2-y2=2有两个公共点，如何求k的取值范围。

根据上面的两种分析，学生不难得出结论。

解：方程（*）式有两个不相等的实数解

即1-k2≠0Δ=16k2+24（1-k2）＞0

-■＜k＜■且k≠±1。

思维迁移三：若直线y=kx-2与x2-y2=2的左支有两个公共点，如何求k的取值范围。

解：左支上有两交点，即（*）式有两负根。

1-k2≠0Δ＞0■

思维迁移四：若直线y=kx-2与x2-y2=2的右支有两个公共点，如何求k的取值范围。

解：右支上有两交点，即（*）式有两正根。

1-k2≠0Δ＞0■＞0■＞0 解得：1＜k＜■

通过以上思维迁移，利用一元二次方程根的分布解决直线与双曲线的位置关系，并且可以借助这道题把直线与双曲线的交点情况理解得更加透彻。

希望大家能好好分析总结一下，碰到问题会灵活转化。比如，空间形式和数量关系的转化，或者内部的转化等等。重视课后习题的引申与变形，这对学习实数与数轴上的点的对应关系，函数与图象的对应关系，曲线与方程的对应关系，以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数、三角函数等内容都会有很大帮助的。

（责编 闫祥）