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1.凸多面体性质
根据凸多面体的概念,不难得出如下性质.
性质1.过多面体面上的任意一点作直线穿多面体,至少存在一直线与多面体的面的公共点多于两个,则该多面体不是凸多面体。
证明:在如图1所示的多面体中,过面SBC上的点F做直线,分别与面SCD,面SED,面SEA交于G、H、K,共4个交点,下面我们证明该多面体不是凸多面体.
我们将面SCD伸展为平面,则点F和H在平面SCD的两侧,所以多面体不在这个平面的同一侧,该多面体不是凸多面体.论毕.
因为性质1的逆否命题应该正确,所以我们就有性质2.
性质2过多面体面上的任意一点作直线穿多面体,若这个多面体为凸多面体,则所做直线与多面体的面的公共点的个数为2个.
性质2可述为“过凸多面体的面上任意一点作直线穿多面体,直线与该多面体面的公共点为2个”.
根据线动成面的原理我们有性质3.
性质3任作多面体的截面,若截面中有一个不是凸多边形,则该多面体不是凸多面体(证明略).
性质3的逆否命题成立,则有性质4.
性质4任作多面体的截面,若该多面体是凸多面体,则所有截面均为凸多边形.
性质4可简述为“凸多面体的任意截面为凸多边形”.
2.多面体分类
就简单多面体和凸多面体这两个概念的关系而言,笔者认为中学数学课本中的“简单多面体”为属概念,而“凸多面体”为子概念,且以下几个事实成立.
事实(一)若一个多面体为凸多面体,那么它必为简单多面体.
证明:假设一个凸多面体表面连续变形后变成一个环面,如图2
左所示.我们在环面上任取一条直线上的四点A、B、C、D,然后我们让环逐步释气,回复到大约如图2右的一个多面体.与A、B、C、D对应的四点分别为A1、B1、C1、D1它们应分布在“孔”的不同侧,我们把B1所在的面伸展为平面,则A1、D1两点分别应在这个平面的两侧,所以释气后得到的多面体不是凸多面体.即原多面体表面连续变形(表面不会破裂)后是一个球面,而不会变成环面(或多环连通面),故假设不成立,原多面体为简单多面体.论毕.
事实(二)一个简单多面体不一定是凸多面体.比如图3中的多面体是简单多面体,但它不是凸多面体.因为若将面SDC伸展成平面后,点A和点E不在平面的同一侧,所以它不是凸多面体.然而将这个多面体表面连续变形后表面必变为球面,所以它是简单多面体.故而简单多面体不一定是凸多面体.
依据(一)和(二)我们可给多面体进行如下分类:
3.凸多面体性质及多面体分类的应用
例1给出下列命题:
①正四棱柱是正多面体.
②直四棱柱是简单多面体.
③简单多面体就是凸多面体.
④以正四面体的各个面的中心为顶点的四面体仍为正四面体.
其中正确命题的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解:正确命题为②④,答案为B.
例2(人教2003版高中数学课本的第九章,习题9.9中的第13题)简单多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥的包含关系如何?用图表示.
解:关系如图4所示.
4.思考与练习:
题1.根据性质2凸多面体的对角线与面的交点个数为 .
题2.根据性质4凸多面体的面为 多边形.