基于小波分析的图像压缩与去噪研究

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摘要：介绍了图像的小波分析的基本理论和基于小波变换的分解与重构原理，利用小波变换对二维图像进行分解，将原始图像分解成不同方向、不同频率成份的子图像。同时对含噪图像进行小波分解,然后选取适当的阈值,对小波分解系数进行阈值量化,再对高低频系数重构,实现图像的去噪。最后运用MATLAB仿真平台进行了仿真验证，仿真结果表明，利用小波分析对图像进行压缩和去噪可以得到非常好的压缩效果和去噪效果，并对工程应用具有一定的借鉴意义。

关键词：小波；图像压缩；图像去噪

Abstract: the article introduces the image wavelet analysis of the basic theory and based on the wavelet transform of decomposition and reconstruction principle, by using wavelet transform to 2 d image decomposition, the original image into different direction and different frequency component of the sub image. At the same time to contain the noise image wavelet decomposition, and then selecting proper threshold, the wavelet coefficients of the quantitative threshold value, and then a high frequency coefficients reconstruction, realize image denoising. Finally using MATLAB simulation platform is simulated, the simulation results show that, using the wavelet analysis to do image compression and denoising can get very good compression effect and denoising effect, and the engineering application of practical significance.

Keywords: small wave. Image compression; Image denoising

1 引言

小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域。小波就是小的波形，“小”指它具有衰减性；“波”则指它的波动性[1]。小波分析已在信号处理、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩等诸多领域得到应用。

长期以来，人们主要利用离散余弦变换DCT（Discrete Cosine Transform）作为主要的图像压缩编码方法，并成功地应用于各种标准，如JPEG，MPEG-1，MPEG-2。但是，基于DCT的图像变换编码容易出现方块效应与蚊式噪声。基于小波变换的图像压缩编码很好的解决了这一问题，小波变换是全局变换，在时域和频域都具有良好的局部化性能。

由于小波变换是一种信号的时频分析，它具有多分辨率的特点，可以方便地从混有强噪声的信号中提取原始信号，被誉为分析信号的显微镜。目前主要从变换方法上进行研究，通过选择不同的基函数或利用框架来进行变换（非抽取小波变换）或通过选取最优基来进行变换（小波包，多小波），在图像处理方面得到了更好的去噪效果。

文章首先介绍小波的相关基本概念；然后对其在图像处理中的压缩与去噪进行分析，运用MATLAB仿真平台进行了仿真验证，借助仿真结果直观展示小波在图像处理中的强大功能。

2 小波分析的基本理论

小波是一个满足条件的函数通过平移和伸缩而产生的一族函数如公式(1)所示：

，， (1)

公式(1)定义的小波称为小波基函数或母函数，式中b为平移的距离，a为伸缩的尺度[2]。如果任意的一个函数f作周期延伸，则可以成为上有意义的函数。即若满足：

(2)

则每个函数f均属于一个平方可积的函数，也可写作，R为实数构成的空间。对于任意的一个函数，为在R上平方可积；且基本小波，那么f的连续小波变换可定义为[2]：

(3)

其中表示小波基的共轭函数。

对任意的及，若f(t)在t处连续，则可以由小波变换得到其逆变换为[2]： (4)

对于的一个二维信号, 用表示其小波基函数，表示的尺度伸缩及二维移位，即：

(5) 则二维连续小波变换为[3]：

(6)

小波逆变换为：

(7)

其中 (8)

在实际图像处理中，需要把连续小波及小波变换离散化才有意义。对连续型的小波进行离散化后的小波及相应得小波变换，称为离散化小波。

3基于小波变换的分解与重构

实际中由于人的感觉器官和仪器对信号有着一定的分辨率，所以对于信号的认识是在一定尺度上进行的，对低于一定尺度的信号的细节是无法认识的。进行小波分解的意义就是要在不同的尺度上根据不同的目的，选择不同的尺度对信号进行分解。

对于大多数信号，其低频分量相当重要，它常包含着信号的特征；而高频分量则给出信号的细节或差别。在小波分析中，用近似来表示信号的低频分量；而用细节来表示信号的高频分量。通过计算离散小波变换的系数可以得到原始信号的近似与细节。

图1显示了对原始信号进行分解的过程。 通过分解可以将信号分解成许多低分辨率的成分。

图1 小波分解的结构图

这样就可以将原始信号S表示为经分解后的各层近似信号与细节信号的和，来实现对原始信号的重构。如图1所示的信号可表示为S=A1+B1=A2+B2+B1=A3+B3+B2+B1。实际中常根据信号的特征或是适当的标准来选择合适的分解层数。

4利用小波分析进行图像的压缩与去噪

4.1 图像的压缩

对于图像来说，为实现快速或实时传输以及大量存储，就需要对图像数据进行压缩。从而可在同等通信容量下，传输更多的图像信息，也就可以增加通信能力。

一种可进行压缩的基于离散余弦变换的图像压缩，就是在频域对信号进行分解,去除信号点之间的相关性，并找出重要系数，滤除次要系数，以达到压缩的效果。但该方法的缺点是在处理过程中不能提供时域的信息[4]。在这个方面，小波分析就具有其优越性。由于小波分析固有的时频特性，可以在时频两个方向对系数进行处理，这样就可以对感兴趣的部分提供不同的压缩精度。

图像压缩的主要参数之一是图像压缩比，它定义为压缩后的图像数据量与压缩前的图像数据量的之比。压缩比越好，压缩后的图像文件数据量越小，但同时图像质量有可能损失会越多。对于二维图像进行小波变换就是模拟人类视觉进行的图像分解，将原始图像分解成不同方向、不同频率成份的子图像。由于人眼对低频失真较为敏感，而对高频失真不甚敏感。因此，在实际处理中，可以根据人的视觉敏感程度对低频高度子图像和高频细节子图像分别采用不同的量化、编码方法，以确保在失真较小的情况下得到最高的压缩比[5]。

4.2 图像的去噪

噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或是造成系统传感器对所接收图像源进行理解或分析时出现了偏差。一般情况下噪声是不可预测的随机信号, 它只能用概率统计的方法去认识。噪声对图像处理十分重要, 它可以影响到图像处理的输入、采集和处理的各个环节以及输出结果的全过程。

传统的去噪方法是将噪声污染的图像信号通过一个滤波器, 滤掉噪声频率成分。但对于短时瞬态信号、非平稳过程信号、含宽带噪声信号, 若采用传统方法处理则有着明显的局限性。基于小波分析的图像去噪可以充分对小波进行时频局部的分析, 灵活地进行奇异特征值的提取，及时变换滤波, 在低信噪比的情况下进行有效滤波并检测信号的波形特征[5]。

利用小波分析去噪的基本步骤如下：

（1）选择合适的小波基函数, 对含有噪声的原始信号进行小波变换；

（2）利用软阈值或硬阈值门限处理相应的小波系数, 获得新的被压缩的小波系数；

（3）通过小波逆变换, 获得去噪后的信号。

其中对于小波基的选取至关重要。小波基的选取主要考虑以下几个因素[6]：①正交性：能有效去除信号的相关性；②支撑集性：避免滤波过程的截断误差, 保证优良的空间局部性质；③对称性：可使量化误差较小, 保证小波的滤波特性有线性相移, 不会造成信号失真；④正则性：用来度量小波函数的光滑性, 对最小量化误差起重要作用。 但是，小波基的选取没有统一的依据, 一般而言, 所选择的小波基应与原信号有较大的相似度。

5仿真及结果分析

本次仿真是以matlab7.0作为平台，借助matlab所提供的小波分析工具箱，对图像的压缩及去噪进行仿真。使用wavedec2和appcoef2函数进行两层二维小波分解和获取小波分解的近似分量；并且使用detcoef2函数来获取两层二维小波分解的细节分量，最后使用wrcoef2函数对各层的分量进行重构。由于Daubechies(dbN)小波不仅具有是连续性和正交性, 而且是紧支集最小的小波。因此这种小波的滤波器系数个数少, 在分解与重构算法中所需的计算量少[6]。所以，本次仿真采用Daubechies小波系中的db4小波作为小波基函数，选取matlab中自带的 trees.tif图，如图2所示，对其进行二层分解后重构。图3显示了进行二层分解后重构的图像。

图2 原始的图像

图3 两层分解重构的图像

将一个图像进行小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应不同的频率。对于一个图像而言，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以压缩的方法就是进行小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。图4对比显示了原始图像和进行压缩后的图像。表1显示了进行两次压缩前后数据量所占空间大小的变化。

图4 原始图像和压缩后的图像

从表1可以看出经过第一次压缩后的压缩比约为1/4，再经过第二次压缩后压缩比为1/14，二次压缩后数据量明显减少，但图像的显示效果较第一次的要差，但总体上仍可显示出原始图像的整体外观。一般要在压缩比和图像质量效果之间进行折衷，以获得良好的图像质量和较低的压缩比。

仿真还可以通过函数ddencmp和wdencmp来进行图像的压缩，并且获取小波分解系数中置0的系数所占百分比以及压缩后图像剩余能量百分比。仿真中仍然采用db4小波。运行后在命令窗口中输入perf0，perfl2可分别得到小波分解系数中置0的系数所占百分比为46.9243，压缩后图像剩余能量百分比99.9786。由此可知，压缩后的图像保留了原始图像47%的系数，但却保留了99.9%以上的能量，取得了很好的压缩效果。

图5显示了利用小波进行图像去噪的过程。仿真中采用ddencmp函数获取去噪的默认阈值，然后用wdencmp函数对小波进行去噪处理，这里选用软阈值，保留近似分量，仍然采用db4小波。从图中可以看出，利用小波进行去噪后，可有效地恢复原始图像。

图5 小波图像的去噪

由以上仿真可以看出，小波分析在图像数据压缩和去噪方面显示出了非常好的效果.小波分析还可以研究不规则图形和混沌运动，弱信号检测，奇异特征值得提取等，并且还应用于数学、计算机、地信和医学等诸多学科，越来越成为一种广泛使用的分析工具。

参考文献

[1] 钟诚. 小波变换及其应用研究[J]. 中国科技信息. 2008, 2: 70-71

[2] 彭玉华. 小波变换与工程应用[M]. 北京: 科学出版社, 1999: 13-20

[3] 章为川, 戴如意. 基于小波的图像去噪及压缩[J]. 电脑知识与技术. 2007, 13: 184-185, 207

[4] 杨先麟, 朱艳芹. 小波分析在图像处理中的应用[J]. 国外电子测量技术. 2007, 26(6): 19-22

[5] 王树亮,任灵萍,郑成增.基于小波变换的图像压缩方法[J].计算机工程与应用, 2004, 40(10): 68-70

[6] 魏宝琴,李白萍. 最优小波基的选取原则[J]. 甘肃科技. 2007, 23(10)

[7] 尹健华, 廖继旺, 刘云芳. 基于小波变换的噪声消除算法研究[J]. 现代电子技术. 2007, 15(5): 144-146

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。