合情推理好掌握 演绎推理需琢磨

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在高中数学中,合情推理比较普遍,也比较容易解决,而在高考中通常是合情推理与演绎推理一块出现,不断推陈出新，经常让学生难以捉摸。本文主要通过例题,向大家展示其中的“奥秘”,所谓万变不离其宗,演绎推理并不难解决。

一、数列中常常使用的“观察-归纳-猜想”的推理方式

例1 数列an中，a1=1,an+1=1an+1，则a2012=（ ）。

（A）2 （B）13

（C）32[DW]（D）1

分析：要由数列的递推关系，看出一般性规律，猜想a2012。

解：a1=1，a2=12，a3=2，a4=1，…，数列是周期数列，2012=3×670+2，a2012=a2=12。

故选B。

评析：高考要求对数列理解数列通项公式的意义，会由递推公式写出数列的前n项，这是归纳推理的典型例题。归纳推理是一种思维过程：观察-概括-猜想，既要有较强的归纳猜想能力，也要掌握一些常见规律。

二、函数题型中不可缺少的“化归与推理”的推理题型

例2 设函数f(x)在(∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0,7］上只有f(1)=f(3)=0。（1）试判断f(x)的奇偶性；（2）试求f(x)=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数，并注明你的结论。

分析：（1）判断f(x)的奇偶性，主要以定义为依据。函数图象有两条对称轴，则f(x)为周期函数。

（2）在闭区间［2005,2005］上的根的个数，只能通过具体的区间――一个周期上的结论去推理。

解：（1）由f(2-x)=f(2+x)，得f(x)=f(4-x)，

由f(7-x)=f(7+x)，得f(x)=f(14x)，

f(4-x)=f(14-x)，得f(10+x)=f(x)，

f(x)周期为10。

在闭区间［0,7］上只有f(1)=f(3)=0，

f(3)=f(7)≠0，

f(x)既不满足f(x)=f(-x)，也不满足f(x)=f(-x)，是非奇非偶函数。

（2）在闭区间［0,10］上只有f(1)=f(3)=0，在闭区间［-10,0］上只有f(-9)=f(-7)=0，

f(x)在［0,10］上有两个根，在［0,2005］有402个根，在［-10,0］上有两个根，在［-2005,0］有400个根，在闭区间［-2005,2005］上有802个根。

评析：（1）奇偶性的判断与使用，主要都以定义为依据，但注意具有奇偶性的时候，要满足定义，而否定奇偶性的时候，只要一个值不满足即可否定。

（2）分析与综合，化归与推理，共同揭示了数学问题中的条件与结论的关系。

三、几何题型中常常见证“演绎推理的一个重要形式――三段论”

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例3 已知梯形ABCD中，AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线。求证：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA。

分析：本题的证明并不难，重在强调演绎推理的一个重要形式-三段论。这里有平行关系，想到内错角相等；有等腰三角形，想到底角相等；由等量代换，不难推证。（证明略）

评析：演绎推理是由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法。三段论式的推理是演绎推理的主要形式。虽然常常省略大前提或小前提，但演绎推理是按照严格的逻辑法则得到新结论的推理证明方法。

四、函数与数列问题中常出类比题

例4 （1）设函数f(x)=12x+2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(5)+f(4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为______；

（2）已知函数f(x)=x21+x2，那么f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(14)+f(13)+f(12)的值为______。

分析：两小题都是求和（求函数值的和）问题，把它们与数列求和进行类比。观察各函数值中自变量的特点，联想等差数列求和的方法是a1+an=a2+an-1=a3+an-2，于是对于第（1）题，我们可以采用求f(5)+f(6)、f(4)+f(5)、…、f(0)+f(1)，而5+6=4+5=3+4=…=0+1。

对于第（2）题，也用类比思想方法求f(2)+f(12)、f(3)+f(13)、f(4)+f(14)。学生很快发现f(λ)+f(1λ)=1，于是原式的值为72，这两道小题的解决方法都是类比方法，而这种方法是源于课本的基本方法。

评析：类比的方法是以两个对象之间的类似为基础的。类比作为一种推理方法，它既不同于归纳推理也不同于演绎推理，它是某种类型的迁移性、相似性的推理方式。应用类比可以在两个不同的知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁，是信息转移的桥梁。经常有这样的情况：长时间沉思于某一问题而未得解决，然而在某一时刻，在其沉思圈子之外有一个信息倒起了很大的启发作用，触发信息的过渡，使问题得以解决，这得益于类比。

（作者单位：河南省延津县一中）