透过“会而不对”的现象,提高教学的实效性

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[摘要]“数学课堂教学实效性”已成为当前数学教育中一个新的热点问题，教学反馈既是教学过程的重要环节，也是实施教学活动和完成教学任务的基本方式与重要手段。教育实践表明，只有同时具备准确性、针对性、制导性、激励性等特征的教学反馈，才能对教与学起到应有的促进作用。本文通过剖析学生"会而不对"的现象，揭示当下高中数学普遍面临的教学状况，提出了改变这一现象的策略。

[关键词]会而不对 策略 实效性

新课程标准提出“要在教学中提高实效性”。在笔者近几年的连续高三教学中发现，虽然学生在解题上花费了大量的时间和精力，但有些同学常常出现这样的情况：看看题目不陌生，会做，但真正做起来，就会出错，不能做对。即“会而不对”。这种情况的出现使学生在中低档题目的得分率降低，而难题又得不到分，从而使卷面成绩不理想，长此以往，不仅影响学生学习的积极性，而且容易使学生厌恶数学，最终制约教学实效性的提高。因此，切实提高教学的实效性是我们应积极探索的一个主题。在这个主题的探究上我们应精耕细作深化反思、互相交流，这样才能形成正确的认识，才能应用科学方法组织习题教学，才能巩固知识、培养解题技巧，提高思维能力，才能提高学生学习数学的兴趣，更有效地达到我们的教学目的。

2010年6月29日是杭州市高二年级数学教学质量检测，作为老师的我，拿到试题初看难度中等。立体几何肯定会做，导数题目也曾考过类型一致的题型，但考试结果却出人意料，高二（6）重点班的均分只有68.78份，普通班更不用说，年级均分仅有57。1分。究其原因，“会而不对”是罪魁祸首。其实，“会与对”已成为数学考试的永恒矛盾，不少老师与学生都感到头痛，难道只要在“大型”考试中加以留心或检查就能避免吗？

一、一道“送分”试题的剖析

（一）试题及评分标准。

如图，已知三棱锥A-BCD的侧视图、俯视图都是直角三角形，尺寸如图所示。

（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值。

（2）在线段AC上是否存在点F，使得BF面ACD？若存在，求出CF的长度；若不存在说明理由。

评分标准（方法不唯一，可视情况给分）：

（1）取BD的中点O，连AO，则AO面BCO以O为原点建立空间直角坐标系，如图

①

②

所以所求异面直线与所成角的余弦值为 ③

（3）设 ④

⑤

⑥

（二）统计。

表一：二（6）班得分统计（共45人重点班）

由表可知，分值偏低，高分不尽人意，除了一人不会建系没做，其余44位同学即97.7%的学生系都建对了，有明确的解题方向，但得分统计不容乐观。

（三）“会 对”原因在哪里。

表二

9分的学生失误在第①步，有交待由三视图得到的数据、线面关系（即过程交待不规范）。7～8分的学生则主要失误在计算准确上（计算能力不达标）或计算结果在绝对值问题的处理上（基础知识不扎实）或方法选择过于复杂（ ）（通法理解不透彻）。6分的学生则主要失误在条件BF面ACD的等价转化不成功，应是 ，而不是 （只会机械记忆，不加理解）。0～5分的学生是系不会建，题目条件看得不仔细，三视图中的垂直关系、边长弄错、点坐标写错，有的纯粹放弃（基础知识、考试过程与意志严重缺乏）。“会≠对”，不仅是计算粗心的问题，而且还有一些典型性失误影响得分。 切实提高教学的实效性是我们应积极探索的一个主题。

二、“会而不对”的实用性策略，提高数学教学的实效性

（一）根据考纲、教学指导意见，精选题目，打通复习，知识连成片，提高教学的针对性、复习的准确性。

科学选题，追求高效。选题原则：是否来源于课本，围绕考纲；问题能否帮助学生消化和强化方法；问题对学生思维水平能否提高；是否蘊含着重要的数学思想方法；是否有利于变式、拓展、延伸；试题是否均可用通性通法来解决；高三复习课重心要稳，主线要明了，重点难点应适当拓展，大胆取舍枝叶，不应面面俱到。主干内容重点教，数学概念深入学，数学问题简洁明了，知识网络并联起来，文理不同侧重讲（离散型随机变量的期望与方差、排列组合、数学归纳法、双曲线等）。新教材新增内容考到可能性较大，如：函数的零点、 多面体的三视图、 算法初步（框图）、含有全称量词和存在量词的命题。倍受青睐的小题命题素材不容忽视，计数题、线性规划、特殊数列求和、圆锥曲线的性质、平面向量几何背景、 复数的简单代数运算。五道解答题的知识背景很明确，三角函数； 概率统计；立体几何； 圆锥曲线；函数综合，在教学中值得重点关注。例如：复习《导数的应用——导数与极值》中，教师首先应明确考纲：（1）理解极大值、极小值的概念。（2）能利用单调性探究极值与导数间的关系，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。（3）会用导数求函数的极大值、极小值，掌握求函数极值的方法。（4）培养学生数形结合的能力、逆向思维能力。难点是对极值概念的理解，函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

基础练习：第一种题型求极值. （1）已知函数f（x）=x2-2lnx.求函数f（x）的极值.

（2）（2010安徽）设函数f（x）=sinx-cosx+x-1（0

第二种题型求参数范围.

（1）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则a=______，b_____.

（2）已知函数f（x）的导数f`（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在处取得极大值，则实数a的取值范围是________.

典例精选：

（典例1）（09年天津理改编）已知函数f（x）=（x2+ax-2a2+3a）ex（x∈R），a∈R.其中

①若函数存在极值，求实数a的取值范围。②当 时，求函数f（x）的极值。

（典例2）.（2010浙江省高三调研卷21）已知实数a满足1

②若函数g（x）=4x3+3bx2-6（b+2）x（b∈R）的极小值点与f（x）的极小值点相同，求证：g（x）的极大值小于等于10。

（典例3）.（2010浙江文21）已知函数f（x）=（x-a）2（x-b）（a，b∈R，a

①当a=1，b=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程。

②设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后成等差数列，并求x4。

知识网络并联：

（1）（与三角向量的结合）已知 ，且关于x的函数

在R上有极值，则 的夹角范围是______

（2）（与数列的结合）数列中 是函数

的极小值点。

①当a=0时，求通项an。

②是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。

（二）变式教学，提高学生的应变能力。

所谓变式教学，即利用问题变式的方式进行教学。变式一般有概念性变式和过程性变式。概念性变式是利用概念变式和非概念变式表示数学概念的本质属性和非本质属性，使学生获得对数学概念的多角度理解，进而建立新概念与已有概念的本质联系；过程性变式是通过变式展示知识的发生、发展、形成的过程，从而理解知识的来龙去脉，形成知识网络，使学生抓住问题的本质，加深对问题的理解。因此变式教学是对学生进行理解，强化数学技能、思维能力训练的重要方式，从而有效地提高学生的应变能力，提高数学教学的实效性。譬如在线性规划教学中，可举例：

例1：已知点p（x，y）的坐标满足 ，O为坐标原点，求 的最大值。

变式1：求 的最大值。变式2：求 的取值范围。

变式3：求 的取值范围。 变式4：求|PO|的最小值。

变式5：若P、Q的坐标均满足以上的不等式组，求cos∠POQ的最小值。

变式6：若 的最大值为7，求 的最小值。

变式7：设 ，若A B，求k取值范围。

变式1～4突破了目标函数何时取最值的难点，变式5～7通过逆向思维进一步理解可行域和最值之间的关系，从而提高学生的解题能力、理解能力，思维得到进一步训练。变式教学的核心是“变”，而“变”的精髓和价值，则在于弄清“为何要变”、“如何去变”、“往哪里变”的过程。这是一条追求“双基”与“创新”双赢的有效途径，从而提高数学教学的实效性。

（三）不断反思，提高学生的理解能力。

学之道在于“悟”.数学学习过程中，学生的反思对于理解与掌握数学内容是非常必要的。只有通过反思，学生不再停留在表面上的“会”，思维得到真正的启动，思想能得到升华。新课程标准中指出，教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流等反思过程。教科书内容呈现方式为“问题情景—学生活动—建立数学—运用数学—回顾反思”，就是力图体现学习过程中的反思，有效地引导学生进行“悟”。在学习数学的过程中，要解决问题或接受新内容。从内容上看，反思包括三个互相联系又有层次区别部分：对知识体系的反思、对知识生成过程的反思、对其中蘊含的思想方法的反思；从过程上看，反思包括三个互相联系又有区别的阶段；解决问题之前的反思、解决问题过程中的反思、解决问题之后的反思。在学习数学内容或解决问题之前，对所要学习的数学内容的来源、问题情境提出的问题等的思考过程是前反思，在数学学习或解决问题过程中，面对失败和困境，及时调节自己的方向，寻找新的突破口，进行有效地转化、探究等活动，就是教中反思。在学习数学内容或解决问题过程中，在每个内容结束或问题解决结束后，对于过程进行回顾、整理、总结、联系、整合、拓广、创新、凝缩等，感悟一般性思想方式，就是教后反思。

（四）不断示错、纠错，学生认知、辨别能力得到一定的提升。

泰戈尔曾说：“如果把所有的错误都关在门外的话，真理也要被关在门外了”。车尔尼雪夫斯基曾说：“一时的错误不会毁掉一个性格坚强的人”。首先，我们能善待错误，有时真理与错误确实就是一步之遥。其次，我们要敢于示错，毕竟对是从错中来。课前几分钟的作业讲评，老师可将作业中典型错误投影，教学过程中应尽可能多的把学生头脑中的问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程、常犯错误暴露出来。因为这“公错”，则生“众疑”，因“众疑”而集“思”广“研”（益），通过“思”中进行了合作，体验了情感，得到了启发与领悟，在广“研”（益）中找到（把握）了共性，活用了个性，总结出规律性的东西。让学生在错误中寻找疑点，在误中思，在思中悟。建构主义学习观认为，学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复得练习得以纠正，必须是一个“自我否定”过程。而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提。利用学习错误，并及时引发多种“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批评性的在思考，对已形成的认识从另一角度，以另一种方式进行再思考，以求得新的深入认识，这既有利于问题的解决，又培养了学生的反思能力。

（五）及时评价与激励，激发学生学习兴趣，发展创新意识。

课前作业讲评，一般不亲自点评，而是采用每天批作业时记录做对或快要做对的学生名单，及时表扬，并让学生选取一名同学来讲解。教学过程中，对于想法不一致的学生，充分给予肯定，留有空间让他们发挥， 老师及时点评。这样一堂课下来，其一，老师的及时评价与表扬，可激发学生的学习热情，每天都期待上课来展现自己。其二，这种既关注学生数学学习的结果，又关注他们数学学习的过程，可鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的学习习惯。通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们有主见的创新意识，授人以鱼，不如授人以渔。

三、结束语

人民教育出版社主编章建跃在《数学概念的理解与教学》一文中指出：实效性教学的基本标准是学生的思维展开程度和参与水平，数学教学的根本目的是促进学生的发展。因此，笔者认为实效性教学应是有效激发学生的好奇心理，充分调动学生的求知欲望，发挥学生学习的主动性、积极性，使学生的数学思维得到充分的展开，深度参与数学知识的理解与探究，达到对数学概念、原理和思想方法的实质性理解，使数学解决问题的能力得到落实。

总之，提高数学课堂教学的实效性，切实缓解、解决“会而不对”的现象势在必行。

[参考文献]

[1]教育部.《普通高中数学课程标准》[M].人民教育出版社2009

[2]李善良.学之道在于“悟”-例谈数学教学中如何引导学生进行反思.《中学数学教学参考》

（作者单位：浙江省建德市严州中学（梅城））