异T形截面薄壁杆件解析解与数值解的比较研究

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摘要：随着我国现代高科技工业的飞速发展，薄壁杆件的优越性能在各行各业中也得到充分的利用。人们也越来越重视薄壁杆件解析解与有限元软件求解的数值解的差异性。本文通过对异T形开口薄壁杆件解析解和数值解的求解，并对数值解和解析解进行差异对比，同时从剪切滞后、次翘曲等方面对其进行了分析研究，得到了相关的一些产生原因，在实际应用中有很大的参考利用价值。

关键词：薄壁杆件 有限元 解析解数值解

取如图的异T形截面为例进行求解分析

1.解析解求解

1.2只有竖向力作用的分析

在异T形截面中长翼缘板端加40KN竖向力，分析其应力。可知：Mx=-40000z，My=0则有：

由此可知当Z=4000mm（即固定端）的时候σz有最大值和最小值，得到。

对于水平翼缘板：

，得到

对于腹板： ，得到

。

所以得到了在竖向力荷载的作用下的弯曲正应力分布情况。由于该图形的截面主扇性面积为零，所以忽略它的扭转正应力。所以，在竖向力作用下的总正应力就约等于弯曲正应力。

对于弯曲剪应力的计算如下 有效剪力为

。弯曲剪应力：

由及形心的X、Y图得到Sy，Sx。即可得出其剪应力的分布。由于该图形的截面主扇性面积为零，忽略它的扭转剪应力。因此在竖向力作用下的总剪应力就约等于弯曲剪应力。

1.3只有竖向力作用的分析

在异T形截面中长翼缘板端加40KN轴向力，应力分析如下：

由截面中受力可知：Mx=-4180000N，My=-5144000N

则有：

对于水平翼缘板： 。

对于腹板：

。由于在只有轴向力的作用下时，不产生剪应力，所以。

2.数值解的求解

利用ANSYS软件建模进行计算。在只有竖向力作用的情况下，得出正应力最大的单元在短翼缘板边缘处，其中线附近的节点正应力为250.55MPa，最小正应力单元在腹板底部，其中线附近节点正应力为-210.44MPa。最大剪应力单元在长翼缘板边缘，其中线附近的节点剪应力为126.15MPa。最小剪应力单元在腹板底部，其中中线附近的节点剪应力为-145.81MPa。

在只有轴向力作用的情况下，得出正应力最大的单元在长翼缘板边缘处，其中线附近的节点正应力为37.732MPa，最小正应力单元中线附近节点正应力为-17.641MPa。

3.异T形截面的解析解和数值解的对比

只有竖向力作用时，它们的正应力及剪应力分布情况大致相同。最大最小正应力均相当吻合。但最大最小剪应力有一定差异。在只有轴向力作用时，它们的正应力分布情况也大致相同。最大最小正应力均相当吻合。

4.解析解和数值解的差异对比分析

4.1剪切滞后的影响

前面在对杆件弯曲正应力的计算，都是建立在初等弯曲理论的公式基础上的。平截面假定只有在梁的截面尺寸与其长度相比很小，且所研究的各点距两端支点相当远时才是正确的。如果梁的宽度比较大，就会因为剪切滞后使翼缘板产生不均匀的应力分布。剪切滞后就是由于剪切变形造成的应力分布不均匀现象。在前面截面的弯曲应力的计算中，我们忽略了剪切滞后对截面应力的影响，而在ANSYS的数值解求解过程中，实体单元自动考虑了剪切滞后对截面剪切滞后的影响。所以，求得的数值解和解析解之间存在相应的差异。

4.2次翘曲的影响

按照前面解析解的计算理论，忽略了截面厚度的影响造成的，扇性惯性矩为零。当截面的壁厚与截面的其他尺寸相比不是很小时，垂直于截面中线方向所产生的次应力就不能忽略。对于一般薄壁截面杆件，次扇性惯性矩与主扇性惯性矩相比小得多，可以忽略，但对于如异T形截面类似的薄板相交于一点的截面，由于 ，所以截面次扇性惯性矩 占主要地位。但通过计算得出次翘曲产生的剪应力比弯曲剪应力小得多，所以，在前面求解解析解部分忽略次翘曲的影响是合理的。

4.3转角应力集中的影响

薄壁杆件扭转时，在截面转折处的内角将产生应力集中。在用ANSYS求解数值解的时候，ANSYS软件会自动根据你的网格划分大小、方式以及转角度数的大小，自动确定一个ρ进行求解。然而，在前面用薄壁杆件理论进行计算时，忽略了转角处的应力集中。所以，在用ANSYS求解时，在转角处的剪应力会比解析解中在相应转角处的剪应力大，同时，也有可能在转角处会出现剪应力的最大值。

4.4建模中使用实体单元的影响

在此次用ANSYS软件建模求解的建模过程中，使用的是实体单元。根据实体单元的性质，我们可以在求解过程中，实体单元严格满足弹塑性力学。在弹塑性力学中，严格满足圣维南原理。其中圣维南原理表明，如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将显著改变，但是远处所受的影响可以不计。因此，我们在用ANSYS的求解过程中，在力作用点附近受很强的集中效应的影响。但是，薄壁杆件的定义不满足圣维南原理的成立条件。所以，在用薄壁杆件理论计算其解析解的时候，不会产生整移效应的双力矩的内力―弯扭双力矩。所以，在此处解析解与数值解之间存在很大的差异。

参考文献：

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[6]杨绿峰，钟德文，李桂青.开口薄壁杆件约束扭转分析的广义参数有限元.广西大学学报（自然科学版）1993年3月

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