扑克游戏中的数学

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很多人都会玩扑克，但可能不一定注意到扑克游戏中还有许多数学知识。先看洗牌，发牌前，为了力争公平，一般都要洗一下。洗牌的目的是乱序，也就是将一叠扑克的原有重叠关系打乱，以增加游戏的不确定性，或者说增加随机性，给众牌友心理上一个期望：以免某人每次都拿到较好的牌，在机会上更具均衡性。

洗牌有抽洗法，也叫印度洗牌法，抽洗是粗略地打乱上下重叠关系：还有混洗，也叫交叉洗、对洗或弹洗；另外还有一种里夫洗牌法，但洗牌效果与混洗差不多，只是握持手法有不同。

有两位曾出入赌场的数学家留意过洗牌过程中的数学原理。他们发现，混洗7次就可以完全洗转，也就是洗净度可达到99.99％。这两位数学家就是美国哈佛大学的岱科尼斯和哥伦比亚大学的贝尔。他们长期观察玩牌时人们的洗牌方式，最后发现一种有效洗牌方式，即弹洗――将牌分成两半，然后交互切入的洗牌法――如果继续洗到第七次，递增数列可达26组，这副牌几乎就看不出原来的顺序了，也就是说一副扑克牌弹洗七次就洗“干净”了。

后来，英国牛津大学的数值分析教授特里费顿和他的父亲，一名机械工程教授一道分析研究了许多副牌，根据他们的研究报告，一副按顺序排列未被洗过的牌中，总共包含了225.58 bits(比特，二进制数系统中的单位)的资讯，这些资讯将会在洗牌过程中逐渐被洗掉。

特里费顿父子利用电脑程式来弹洗这些牌，发现第一次弹洗后，牌里剩173.58 bits的资讯：第二次弹洗后剩121.58 bits的资讯。如果只想要让牌混乱化，其实只要弹洗五六次就够了。弹洗六次后，这副牌就洗掉99％的资讯了(如下表)。

洗牌不可能花很多时间，很少有人有耐心混洗7次。大多是仅抽洗几次，混洗一次，就开始发牌。其实打完一盘，收起来的牌，次序本来就是很混乱无序的。

那么洗牌、发牌，究竟谁轻谁重?我们先看看发牌的组合的可能性。扑克是54张，每张不重样，某张牌到手的概率是1/54。扑克牌的玩法，各地有许多种，因而有不同的发牌模式。

先说现在全国很流行“斗地主”，这是3个人打，要用到大小鬼，留底3张，每人发17张，能发出的组合数为：

C1754×C1737×C1720=854 990 375 116 200 574 569318 000 000(30位数)。

再说“打千分”，这是4个人打，不用大、小鬼，留底4张，每人发12张，能发出的组合数为：

C1252×C1240×C1228×C1216=63 839473 138 338 558 845 060 855160 000(32位数)。 “拱猪”这种玩法不用鬼，不留底，全发完，还有桥牌也是这样发牌的。52张发给4个人，能发出的组合数为：

C1352×C1339×C1326×C1313=53 644737 765 488 792 839 237 440000(29位数)

至于其他玩法的发牌模式，分别有不同的组合，有兴趣的牌友可以算一算。

从以上几种玩法可看出，发出牌的组合样本空间是极其巨大的，达29～32位数，只能用电脑的计算器才能完成计算。这天文数字般的组合样本空间，说明它具备的随机性极强。我们常说彩票中的特等奖、一等奖是小概率事件。如江苏风彩(35选7)中一等奖的概率是1/6724520，浙江风彩(34选7)中一等奖的概率是1/5379616，北京体彩(36选7)等奖的概率是1/8347680等等。可以看出，无论是香港的，还是内地的形形的彩票，其能产生的组合样本空间，比扑克的组合样本不知要小多少倍。

有这些数学上的知识，在牌友们玩牌时就会明白洗牌主要是心理上的、习惯上的需要，而不是洗得越彻底越好。洗牌的目的是增加随机性、增加不确定性。由于发出牌的组合是极大的天文数字，每一种出现的概率是极小的，它所具有的随机性也是极大的。只要动一动重叠的牌，如任意切一下，或随便洗一下，发出的牌就会完全不同。4位牌友要拿到一副一模一样的原来打过的牌，是他们一辈子也碰不到的事。